牛津通识读本：量子理论 [4]
几率解释暗示着，测量时刻必须是瞬间的、不连续改变的时刻。如果电子处于一个状态，它的几率分散到“这儿”“那儿”，又或者是“任何地方”，当测量它的位置并发现在此之际它在“这儿”时，电子的几率分布就会突然改变，变得仅仅集中在测量的确切位置“这儿”。既然几率分布是从波函数计算出来的，波函数也必须不连续地改变，这是薛定谔方程本身并没有揭示出的一个行为。这种突然改变的现象称为波包塌缩，是一个额外条件，必须从外部强加到理论上。在下一章，我们将看到，关于如何理解和解释量子理论，测量过程会继续引起很多困惑。对于某些人如薛定谔，这个问题激发的不仅仅是困惑。薛定谔对它满怀厌恶，他说，如果知道自己的想法将会引起这个“该死的量子跳跃”，宁愿当初没有发现他的方程！
观测量
（敬告读者：这一节包括一些简单的数学思想，非常值得下功夫去学习，但是需要用心才能消化。在本书正文中，这是仅有的一节冒险使用了一些数学知识。我很遗憾，对于非数学专业人士来说它难免有点难懂。）
经典物理描述的世界是清晰又确定的。量子物理描述的世界是模糊又不稳定的。就形式（即量子理论的数学表述）来说，我们已经看到这些性质源自量子叠加原理允许状态混合，而这与经典世界是严格不相容的。这个简单的违反直觉的可加性原理，利用叫作矢量空间的东西，找到了一个自然的数学表达形式（数学附录7）。
普通空间的一个矢量可以被想象为一个箭头，具有已知长度并指向已知方向。箭头能够被简单地一个接一个地加在一起。例如，正北方向的4英里与正东方向的3英里相加，可以得到北偏东37°方向的5英里（见图4）。数学家能够将这些思想推广到任意维度的空间。所有矢量拥有的基本性质就是它们可以加和。因此，它们给量子叠加原理提供了一个自然的数学对应。这里我们不需要关心细节，但是既然使用术语带来的便利总是好的，就值得谈到一种特别复杂的矢量空间形式——希尔伯特空间，它为量子理论提供了出色的数学工具。
图4 矢量相加
到目前为止，我们集中讨论了运动的状态。有人可能会认为，它们产生于给实验准备初始材料的具体方法，如从电子枪中发射电子、使光通过特定的光学系统、用一套特定的电场和磁场使粒子偏转，等等。对于已经准备好的系统，可以将状态看作“情况是什么样的”，尽管量子理论的不可图像化意味着情况不会像经典物理中那样清晰和直接。如果物理学家想知道一些更精确的情形（如电子到底在哪？），就必须进行观测，给系统引入一个实验干预。例如，实验者可能希望测量一些特定的动力学量，比如电子的位置或者动量。这样就会出现如下的正式问题：如果态是用矢量来表示的，那么被测量的观测量该如何表示？答案就在作用于希尔伯特空间的算符上。因此，连接数学形式与物理的方案，不仅包括矢量与态对应的规范，还包括算符与观测量对应的规范（数学附录8）。
算符的一般思想是它可以将一个态变换到另一个态。一个简单的例子就是旋转算符。在普通的三维空间中，沿着垂直方向旋转90°（沿右手螺旋方向旋转）的旋转算符将一个指向正东方的矢量（将其想象为一个箭头）转成一个指向正北方的矢量（箭头）。算符的一个重要性质是它们通常都相互不对易；也就是说，它们作用的次序是有意义的。考虑两个算符：R1——绕垂直轴旋转90°；R2——绕指向北方的水平轴旋转90°（还是右手螺旋）。按照先R1后R2的次序，旋转指向东方的箭头。R1使箭头转成指向正北方的箭头，然后在R2的作用下保持不变。我们将按这种次序作用的两个算符表示为R2.R1，因为算符总是从右往左读，这有点像希伯来语和阿拉伯语。按照相反的次序应用这些算符，将首先使箭头从正东方转到正下方（算符R2的结果），然后箭头也将保持不变（算符R1的结果）。由于R2.R1作用的结果是指向正北方的箭头，而R1.R2作用的结果是指向正下方的箭头，所以这两者产生的结果是明显不同的。次序至关重要——旋转算符相互不对易。
数学家们后来认识到矩阵也可以看作算符，因此海森堡使用的非对易性矩阵是算符一般性质的另一个特例。
所有这些似乎相当抽象，但是非对易性被证明是一个重要物理性质的数学对应。为了看出这是如何发生的，必须先弄清观测量的算符形式如何关联到真实实验结果。算符是相当复杂的数学对象，但是测量结果总是被表达为简单的数字，比如2.7单位的任何可能的东西。抽象理论要使物理观测有意义，就必须有一个连接数（观测结果）和算符（数学形式）的方法。幸运的是，数学被证明胜任这个挑战。核心思想是本征矢量和本征值（数学附录8）。
有时候，一个算符作用在一个矢量上并不改变那个矢量的方向。例如，绕着垂直轴的旋转，完全不改变垂直方向的矢量。又如，沿垂直方向的拉伸操作，仅改变垂直矢量的长度，不改变它的方向。如果拉伸产生加倍效果，垂直矢量的长度将乘以2。用更一般的说法，我们说，如果算符O将一个特定的矢量v变成它自身的λ倍，那么v就是算符O的本征矢量，λ就是算符O的本征值。基本思想就是本征值（λ）提供了一个连接数与特定算符（O）和特定态（v）的数学方法。量子理论的一般原理包含一个大胆的要求，即本征矢量（也叫本征态）在物理上对应于某个态，而在该态上测量观测量O将必然产生结果λ。
这条规则能产生很多有意义的结果。其中一个就是它的逆命题：由于有大量的矢量不是本征矢量，因此将会有许多态，在其中测量O必然不会产生特定结果。（数学旁白：很容易看出，叠加两个属于O不同本征值的本征态，结果将不再是O的简单本征态。）因此，在后面这类状态中测量O，在不同的测量情况下一定会给出多种不同的答案。（这再次证明了我们所熟悉的量子理论的几率特征。）实际上，不论得到什么结果，随后产生的状态必须对应于本征态，也就是说，矢量必须立即转变为合适的O的本征矢量。这是波包塌缩的比较深奥的说法。
图5 非对易旋转
另一个重要结果涉及什么测量能够相互兼容，也就是说，可以同时测量。假定同时测量O1和O2是可能的，而且它们的结果分别是λ1和λ2。先按如下次序测量，即先将态矢量乘以λ1，然后再乘以λ2。然而，我们也可以颠倒测量顺序，即简单地将λ1和λ2的顺序交换一下再与态矢量相乘。既然两个λ是普通的数，它们这种次序颠倒就没什么关系。这意味着O2.O1和O1.O2作用在态矢量上有相同的效果，因此它们的次序无关紧要。换句话说，只有算符相互对易的观测量，同时测量才能相互兼容。反过来说，不相互对易的观测量不能同时进行测量。
这里，我们可以看到熟悉的量子理论的模糊性再次展现。在经典物理中，实验者能够在任何需要的时刻测量任何想要测量的东西。物理世界就展现在科学家能够洞察一切的眼睛之前。相比之下，在量子世界，物理学家的视野是部分被掩盖着的。在认识论上，我们了解量子对象知识的入口，要比经典物理料想的受到更多限制。
我们与矢量空间的数学接触就在这里结束了。任何感觉迷惑的读者只需简单地记住这样一个事实：在量子理论中，只有算符相互对易的观测量才能同时测量。
不确定性原理
在1927年构造著名的不确定性原理的时候，海森堡非常清楚地说明了该原理的意义。他认识到，理论应该指定它允许人们通过测量来知道的东西。海森堡关心的不是我们刚才考虑的那类数学论点，而是利用理想化的“思想实验”去探索量子力学的物理内容。这些思想实验中的一个就是考虑所谓的γ射线显微镜。
这个想法是要找出，测量电子的位置和动量原则可以精确到何种程度。根据量子力学规则，相应的算符并不对易。因此，如果这个理论确实是正确的，将不可能知道任意精度的位置和动量值。海森堡想从物理层面理解为什么会这样。首先，让我们尝试测量电子的位置。原则上，完成该测量的一个方法就是照射光到电子上，然后通过显微镜去看它在哪里。（记住这是思想实验。）而光学仪器有一个极限分辨能力，这给精确定位目标施加了限制。任何人做定位的精度都不可能比得上所用光的波长。当然，可以通过使用更短波长的光来提高精度——这儿就引入γ射线了，它是非常高频（波长短）的辐射。然而，这个策略付出了一个代价，该代价源自辐射的粒子性质。为了使电子能够被看到，它必须偏转至少一个光子进入显微镜。普朗克公式表明，频率越高，光子携带的能量就越大。结果，减小波长将使电子在与光子碰撞时，其运动遭受越来越多无法控制的扰动。这就意味着，在位置测量之后，就越来越不知道电子的动量是多少。在增加位置测量精度和降低对动量了解的精度之间，不可避免地存在一个权衡。这就是不确定性原理的基础：不可能同时完美地了解位置和动量（数学附录9）。用更生动的语言来说就是，能知道电子在哪，就无法知道它在做什么；或者，能知道它在做什么，就不知道它在哪。在量子世界，经典物理学家认为是一知半解的东西就是我们能够做到的最好的东西。
一知半解是量子的特性。成对出现的观测量在认识论上是相互排斥的。日常生活中，就有这种行为的例子。比如在音乐方面，不可能既指定发出一个音符的精确时刻，又同时精确知道它的音调。这是因为确定音符的音调需要分析声音的频率，这就要求先听一段音符，只有让音符持续几个振荡之后才能做出精确估计。正是声音的波动性质施加了这种限制。如果从波动力学的视角讨论量子理论的测量问题，完全类似的思考会引导人们回到不确定性原理上。
在海森堡的发现背后有一个有趣的故事。那时，他在哥本哈根学院工作，领导是尼尔斯·玻尔。玻尔爱好长时间的讨论，年轻的海森堡就是一个他喜爱的交谈对象。实际上，过不了多长时间，玻尔无尽的沉思就使他的年轻同事心烦意乱了。因此，海森堡非常高兴，能抓住一个玻尔不在的机会，利用玻尔的滑雪假期来开展自己的工作，完成了他