牛津通识读本：量子理论 [3]
波动力学
量子理论的第二种表述被称为波动力学是非常恰当的。它的成熟版本是奥地利物理学家埃尔温·薛定谔发现的。但是，在稍早一点的时间，波动力学已经在正确的方向上迈出了一步，由年轻的法国贵族路易斯·德布罗意王子完成（数学附录5）。德布罗意提出一个大胆的建议：如果波动的光也可以表现出粒子的性质，人们也许可以相应地预期粒子——比如电子——同样能表现出波动性。通过扩大普朗克公式的应用，德布罗意能够用定量的形式描述这个想法。普朗克已经使能量的粒子性质与频率的波动性质成比例。德布罗意建议，另一个粒子性质——动量（一个重要的物理量，定义明确且大体上对应于粒子持续运动的能力），应该类似地与另一个波动性质——波长相关，相关比例系数还是普朗克的普适常数。这种等价性提供了一种微型词典，可以把粒子翻译成波，或者将波翻译成粒子。1924年，德布罗意在他的博士论文中展示了这些想法。巴黎大学当局非常怀疑这类异端观念，但是幸运的是，他们暗地里咨询了爱因斯坦。爱因斯坦认可了这位年轻人的才华，德布罗意也被授予博士学位。在短短几年之内，美国戴维逊和杰默以及英国乔治·汤姆森的实验都能够证明，一束电子与晶体晶格相互作用时存在电子干涉图样，从而证实了电子确实能够表现出波动行为。路易斯·德布罗意在1929年被授予诺贝尔物理学奖。（乔治·汤姆森是约瑟夫·汤姆森的儿子。人们经常说，父亲赢得诺贝尔奖是因为证实电子是一个粒子，而儿子赢得诺贝尔奖是因为证实电子是一种波。）
德布罗意提出的想法建立在对自由运动粒子性质的讨论之上。为了实现一个完整的动力学理论，需要做更深入的推广，以便允许在理论中加入相互作用。这是薛定谔成功解决的问题。早在1926年，他就发表了现在以他名字命名的著名方程（数学附录6）。引导他发现方程的方法是通过与光学进行类比。
虽然19世纪的物理学家认为光是由波组成的，但是他们并没有总是用成熟的波动计算技术去获知发生的情况。如果与定义问题的尺寸相比，光的波长较小，就有可能引入一个极其简单的方法。这个方法就是几何光学。几何光学把光视为按直线传播，并按照简单的规则进行反射和折射的射线。今天中学物理中基本的棱镜和平面镜系统的计算就是按照相同的方式在进行，计算者根本不需要担心复杂的波动方程。应用在光上的射线光学是比较简单的，类似于在质点力学中画轨迹。如果质点力学仅仅是更基础的波动力学的一个近似，薛定谔认为波动力学可以通过逆向思考来发现，类似于从波动光学导出几何光学。按照这个方法，他发现了薛定谔方程。
在海森堡向物理学界介绍他的矩阵力学理论后仅几个月，薛定谔就发表了他的想法。那时，薛定谔38岁。这提供了一个杰出的反例，否定了理论物理学家做出真正的原创工作是在25岁之前的断言——这个断言有时是科学家以外的人做出的。薛定谔方程是量子理论的基本动力学方程。它是偏微分方程中相当简单的一类，也是那时物理学家非常熟悉的一种，对这种方程物理学家已经拥有数学求解技术的强大积累。薛定谔方程用起来要比海森堡新奇的矩阵方法容易得多。人们立刻就可以开始工作，将这些想法应用到多种多样的具体物理问题上。对于氢原子光谱，薛定谔自己能够从他的方程推导出巴耳末公式。这个计算显示了玻尔在他对旧量子理论极富创造力的修补当中，距离真相究竟有多近，又有多远。（角动量是重要的，但其重要性并不体现在玻尔提出的方式中。）
量子力学
很明显，海森堡和薛定谔已经取得了不俗的进展。然而乍一看，他们提出新思路的方式是如此不同，以至于看不清楚是他们做出了同样的发现、仅是表述不同，还是他们提出的原本就是两个竞争性的提议（见数学附录10的讨论）。重要的澄清工作随后很快出现，其中哥廷根大学的马克斯·玻恩和剑桥大学的保罗·狄拉克做出了非常重大的贡献。很快就确定有一个基于一般原理之上的理论，其数学描述可以表现为许多等价的形式。这些一般原理最终在狄拉克的《量子力学原理》一书中得到明确阐述。该书首次出版于1930年，是20世纪的一个智慧经典。其第一版的序言以看似简单的陈述开始：“在本世纪，理论物理学方法的发展经历了一次巨变。”我们现在必须考虑这次巨变带来的物理世界本质的变革。
可以这么说，我学习的量子力学是绝对可靠的。也就是说，我聆听了狄拉克在剑桥讲授的著名的量子理论课程，该课程持续了30年。听众不仅包括像我这样的大四本科生，还经常有资深的拜访者。这些拜访者理所当然地认为，从一个量子理论的杰出人物口中再听一遍他的课程是种特别的荣幸，虽然他们可能已经非常熟悉课程的大致内容。讲座几乎完全是按照狄拉克那本书的结构进行的。令人印象深刻的是，狄拉克完全没有强调他本人对这些伟大发现所做出的贡献。我已说过，狄拉克属于一类科学圣人，其内心纯净，目标明确。讲座令人如痴如醉，其清晰度和论点的磅礴展开，就如同巴赫赋格曲的发展一样令人舒心且看似必然。讲座没有使用任何形式的修辞手法，但是在讲座开始时，狄拉克允许自己做一些适当的舞台动作。
他拿起一支粉笔，折成两半，一段放在讲台的这一边，一段放在讲台的那一边。然后狄拉克说，从经典的角度看，一个状态是这支粉笔在“这儿”，一个状态是这支粉笔在“那儿”，而且这是仅有的两种可能性。然而，将粉笔换成电子，在量子世界中电子不仅有“这儿”和“那儿”的态，还有一大堆其他的态。这些态是两种可能性的混合体——一点“这儿”态和一点“那儿”态的叠加。量子理论允许态的混合叠加，但是在经典物理中态是彼此排斥的。正是这种有悖常理的几率叠加区分了量子世界和日常经典物理世界（数学附录7）。用专业术语来说，这个新的可能性被称为叠加原理。
双缝和态叠加
利用双缝实验，人们可以很好地阐述叠加假设带来的根本性结果。活力四射的诺贝尔物理学奖获得者理查德·费曼（他轶事风格的作品激起了公众的遐想），曾经将这个现象描述为躺在“量子力学的心脏”上。他认为，必须将量子力学整体吞下，而不必担心它的味道或者是否可以消化。这可以通过囫囵吞下双缝实验来体验一下：
实际上，它包含了唯一的神秘。我们无法通过“解释”它如何工作来消除神秘。我们只能告诉你它是如何工作的。在告诉你它如何工作时，我们就会告诉你所有量子力学的基本特点。
经过这样一个预告，读者一定想去了解这个有趣的现象。该实验包含一个量子对象源，我们可以说是一支电子枪，它可以发射一束稳定的粒子流。这些粒子撞击一面接收屏，该屏有两道狭缝A和B。在狭缝屏的另一边，有一面探测屏，用以记录到达的电子。它可以是一块很大的感光板，每个入射电子都可以在上面留下标记。电子枪的电子发送速率已经调节过，确保在任一时刻仅有一个电子穿过仪器。然后，我们看看会发生什么。
电子一个接一个到达探测屏，每一个电子都出现一个对应的标记，记录了它的撞击点。这清楚显示单个电子表现出粒子行为。然而，当大量的标记积累在探测屏上时，我们发现这些标记产生的集体图案，能显示出我们所熟悉的干涉效应条纹。在双缝中间点对面的探测屏上，有一个致密的暗斑，其对应于沉积电子数目最多的位置。在此中心带的两侧都有交替出现的明带和逐渐缩小的暗带，分别对应于没有电子到达和有电子到达的位置。这种衍射图案（物理学家对这些干涉效应的称谓）是电子表现出波动行为的明确标志。
该现象是电子波粒二象性的一个简洁的例子。电子一个接着一个到达是粒子行为，产生的集体干涉图样是波动行为。但是，接下来要讲的东西更为有趣。我们可以探究得更深入一点，问问下面这个问题来看看到底发生了什么：当一个不可分的单个电子穿过仪器时，它是通过哪一道狭缝到达探测屏的？我们假定它通过上面的狭缝A。如果确实是这样，下面的狭缝B就是根本无关的，它也可以暂时被关闭。但是，如果只有狭缝A打开，电子并不是最有可能到达远端屏的中点，而是最可能到达与狭缝A对应的点。既然事实并非如此，我们得出结论：电子不可能是通过了狭缝A。通过类似讨论，我们也可以得出电子没有通过狭缝B的结论。那么，究竟发生了什么呢？伟大的夏洛克·福尔摩斯喜欢说的一句话是，当你已经摒弃了不可能，无论剩下的是什么，那一定是真相，不管它看起来是多么不可能。这条福尔摩斯原理可以引导我们得出结论：这个不可分的电子同时通过了双缝。就经典直觉而言，这是一个荒谬的结论。然而，就量子理论的叠加原理而言，这是完全合情合理的。电子的运动状态是（通过狭缝A的）状态和（通过狭缝B的）状态的相加。
图3 双缝实验示意图
叠加原理暗含了量子理论两个非常普遍的特征。其一是，对于物理过程中所发生的情况已经不再可能形成清晰的图像。生活在（经典）日常世界中的我们，无法设想一个不可分粒子同时穿过双缝。另一个结果是，当我们进行观测时，已经不可能精确地预言将会发生什么。假如，我们来改造双缝实验，在双缝的每一道缝附近都放一个探测器，从而可以确定电子究竟通过哪道缝。事实证明，这个实验改造会带来两个结果。一是，电子有时被靠近狭缝A的探测器探测到，也有时被靠近狭缝B的探测器探测到。在任何一个特定时刻，根本不可能预言电子究竟在哪里可以被找到，但是经过一系列的试验，两道狭缝的相对几率会是一半对一半。这说明了一个普遍特征，即在量子理论中，对测量结果的预测是统计性质的，而不是决定性质的。量子理论经营的是可能性，而不是确定性。这个实验改造的另一结果是，破坏了终端探测屏上的干涉图样。电子不再倾向于到达探测屏的中点，到达狭缝A对面和到达狭缝B对面的那些电子是平均分布的。换句话说，发现什么样的电子行为取决于想要寻找什么样的性质。问一个粒子性问题（哪一道狭缝？），就得到一个粒子性的答案；问一个波动性问题（仅仅是关于探测屏上的最终累积图样），就会得到一个波动性答案。
几率
首次清晰强调量子理论几率特征的是哥廷根的马克斯·玻恩。因为该成就，他将获得当之无愧的诺贝尔奖，不过一直要到1954年才授予。波动力学的到来已经提出了人们熟悉的问题：是什么的波？最初，人们倾向于猜测它可能是物质