牛津通识读本：量子理论 [5]
几率振幅
在量子理论中计算几率的方法是根据叫作几率振幅的东西进行的。在这里完整讨论它是不合适的，因为它对数学要求太高，但是读者应该知道其中所涉及的两个方面。首先，这些振幅是复数，也就是说它们不仅包括普通的数，还包括i，即-1的“虚”平方根。实际上，复数是量子理论体系特有的。这是因为它们提供了非常易于表示波的一个方面的方法，可以查阅第一章中讨论干涉现象的内容。我们看到，波的相位与两列波是相互同步还是相互异步（或者任何在这两者之间的可能性）有关。从数学上讲，复数为表述这些“相位关系”提供了一个自然而方便的方法。然而，理论上必须小心，要确保观测值（本征值）与任何包含i的项无关。这可以通过要求对应于观测量的算符满足一定条件来实现，数学家把该条件叫作“厄米”（数学附录8）。
我们至少需要了解的关于几率振幅的第二个方面是，作为我们正在讨论的理论的数学工具的一部分，人们发现它们的计算涉及态矢量和观测量算符的组合。因为正是这些“矩阵元”（对这种组合的称呼）带有最直接的物理意义，并且它们原来是由人们所说的态——观测量——态的“三明治”构成，所以物理的时间依赖既可以归因于态矢量的时间依赖，也可以归因于观测量的时间依赖。这个探讨后来提供了一个线索，它表明尽管海森堡和薛定谔理论表现明显不同，它们的确完全对应于同一个物理（数学附录10）。它们表面上的不同是因为，海森堡将所有时间依赖完全归因于算符上，而薛定谔则将所有时间依赖完全归因于态矢量上。
为了有意义，几率自身必须是正数。它们是根据几率振幅来计算得到的，所用的方法是一种平方运算（叫作“模平方”），对于复振幅来说，该运算结果总是正数。另外，还存在一个标度条件（叫作“归一化”），它确保当所有几率加在一起时，结果是1（确定无疑会发生！）。
互补性
随着这些精彩的发现慢慢显露在世人面前，哥本哈根一直是对正在发生的事情的评估和裁定中心。此时，尼尔斯·玻尔不再对技术发展亲自做出具体的贡献。然而，他仍对解释性问题深感兴趣。而且，由于他的正直和洞察力，正在撰写开拓性论文的少壮派都愿将他们的发现交给他评审。哥本哈根是哲人王的法院，量子力学新思想的智慧成果都交给它加以评审。
除了身为长者这个角色，玻尔还确实给新量子理论提出了富有洞察力的见解，体现形式就是他的互补性概念。量子理论提供了大量成对可选的思维模式。比如，过程存在两个可选的表象，它既可以建立在测量全部位置的基础上，也可以建立在测量全部动量的基础上；又如，以波动方式与以粒子方式来思考量子对象的二元性。玻尔强调，这些成对可选的思想方式应该被认为是严格等效的，并且在处理时没有任何矛盾，因为每一个都与另一个互补，而非互相矛盾。这又是因为，它们对应于不同且相互不兼容的实验安排，二者不能同时使用。或者设置一个波动实验（双缝），在此情况下询问的是一个波动性问题，会收到一个波动性答案（干涉图样）；或者设置一个粒子实验（探测电子通过哪道狭缝），在此情况下一个粒子性问题就会收到一个粒子性答案（双缝对面的两个受冲击区域）。
互补性显然是一个有益的想法，尽管它无法解决所有解释性问题，就如下一章显示的那样。随着玻尔渐渐变老，他对哲学问题的关心与日俱增。毫无疑问，他是一位伟大的物理学家，但是在我看来，他对这个后来的哲学副业明显缺少天分。他的思想广泛而模糊，随后有许多书在尝试分析它们，获得的结论就是玻尔持有各种互不相容的哲学立场。也许他对此并不吃惊，因为他喜欢说，在能够说清楚某物和存在深奥且值得说的某事之间存在互补性。当然，互补性与量子理论的关联（这里问题源自经验，并且我们拥有完整的理论框架使它清楚易懂），并没有使这个概念能轻易应用到其他学科。似乎量子理论互补性可以用来证明，任何迎合人们喜好的相互矛盾的两者都是正确的。当玻尔提出互补性可以揭示古老的与人性相关的决定论和自由意志问题时，人们可能认为他已经极其危险地接近上述状态了。我们将把进一步的哲学反思放在最后一章。
量子逻辑
人们很有理由期望，量子理论能显著地改变我们对位置和动量等物理术语的概念。更令人惊讶的是，它还影响了我们如何思考那些小的逻辑词语——“与”和“或”。
经典逻辑就如亚里士多德和一般的英国人构想的那样，是建立在逻辑分配律基础之上的。如果我告诉你，比尔是红头发，并且他不是在家就是在酒馆，那么你会预期，要么找到一个在家的红头发比尔，要么找到一个在酒馆的红头发比尔。这似乎是一个相当无关紧要的结论，它在形式上依赖于亚里士多德的排中律：“在家”和“不在家”之间，没有任何中间项。20世纪30年代，人们开始认识到，在量子世界中事情变得不一样了。一个电子不仅可以“在这儿”和“不在这儿”，还可以在任意多数量的其他态上，这些态是“这儿”和“不在这儿”的叠加。这就形成了一个中间项，它是亚里士多德做梦也想不到的。结果，就存在一种特别的逻辑形式，叫作量子逻辑，它的细节部分由加勒特·伯克霍夫和约翰·冯·诺伊曼给出。有时它也叫作三值逻辑，因为除了“真”和“假”之外，它还支持或然的答案“可能”——该想法哲学家们早已漫不经心地独自思考过。
第三章 日益加深的困惑
当代量子理论被发现时，占据舞台中心的物理问题是关于原子行为和辐射行为的。这段最初发现的时期之后，跟随而来的是20世纪20年代末和30年代初这段持久狂热的探索期。在这段时间内，新思想被广泛应用到其他物理现象中。例如，稍后我们就会看到，量子理论对晶体固体中的电子行为，给出了具有重大意义的新理解。我曾经听保罗·狄拉克谈过这段快速发展时期，他说这段时期是“二流研究者在做一流工作”。几乎在其他任何人的口中，这些词都是不太礼貌的奚落。但是，对于狄拉克来说，并不是这样。在他的全部生活中，他都是单纯地就事论事，直接说他想说的，不加任何修饰。他的话仅仅是打算向人们传递一些东西，传递从那些最初的基本见解中流淌出来的丰富认识。
量子理论的成功应用一直在持续，势头不减。现在，我们能用量子理论同样有效地去讨论夸克和胶子行为。想到这些核物质的成分最多只有20世纪20年代先驱者们关心的原子的亿分之一大小，这真是一个令人惊叹的成就。物理学家知道如何去做计算，而且他们发现答案不断以惊人的精度涌现出来。例如，量子电动力学（电子和光子的相互作用理论）产生的结果与实验非常接近，达到的精度比一根头发丝的宽度相对于洛杉矶和纽约之间的距离这样的误差还要小！
就这些方面而言，量子理论是一个巨大的成功，可能是物理科学史上最伟大的成功故事。但是，仍然存在一个深刻的矛盾。物理学家有能力去做计算，但是他们仍然不理解理论。严峻的解释性问题仍然没有解决，因此也是持续争论的对象。这些引起争论的问题特别关系到两个困惑：该理论的几率特征的意义，以及测量过程的实质。
几率
经典物理中也有几率，它们的起因在于人们对正在进行之事的某些细节不得而知。一个范例就是扔硬币。没人会怀疑，牛顿力学决定着硬币在旋转过后如何落地——没有命运女神福尔图娜直接干预的问题；但是，硬币运动对其被扔方式的精确微小的细节（我们察觉不到）非常敏感，我们无法准确预测硬币落下的结果是什么。然而，我们确实知道，如果硬币是公正的，机会应该均等，即正面是1/2，背面也是1/2。类似地，对于一个真正的骰子，任何一个特定数字所在的面，朝上的几率都是1/6。如果有人问，扔出1或者2的几率是多少，可以简单地将独立的几率加起来，结果就是1/3。这个加法定律能够成立，是因为扔出1的过程和扔出2的过程是有区别的，并且是相互独立的。既然它们间没有相互影响，我们就可以将结果的几率加起来。这似乎相当直截了当。然而，在量子世界就不一样了。
首先考虑电子和双缝量子实验的经典等效实验是什么。一个普通的类比是往有两个洞的篱笆墙上扔网球。球有一定的几率穿过其中一个洞，还有一定的几率穿过另一个洞。如果我们关心的是球落在篱笆墙另一边的机会，由于球必须通过其中一个洞或者另一个洞，我们仅需将这两者的几率加在一起（就像我们计算骰子数字1或数字2两面朝上的几率一样）。对量子来说，情况就变得不同了，因为叠加原理允许电子同时通过两缝。经典物理中相互有别的几率在量子力学中则相互纠缠在一起。
结果，在量子理论中，几率相加定律就变了。如果有人必须对大量未观测到的中间几率求和，那必须是将几率振幅而不是几率本身加在一起。在双缝实验中，我们必须将通过狭缝A的几率振幅加到通过狭缝B的几率振幅上。回想一下，几率是几率振幅通过一种平方运算计算得来的。先相加后平方的结果，就是产生数学家所称的“交叉项”。可以通过考虑如下简单的数学方程来体验一下这个思想：
（2+3）2=22+32+12
这个“额外”的12就是交叉项。
或许，这看起来有点神秘。基本的概念是这样的：在日常生活中，为了得到最终结果的几率，仅需将独立的中间几率加在一起。在量子世界中，加和这些非直接观测的中间几率