牛津通识读本：选择理论 [7]
显然，如果一个赌局的风险酬金为正，对于该赌局来说，你就是风险厌恶的；反之，如果风险酬金为负，你就是风险喜好的。如果你对于任何赌局都是风险厌恶的，那么我会说，你是（无条件）风险厌恶的。如果你对于任何赌局都是风险喜好的，那么我会说，你是风险喜好的。显而易见，如果效用分配方案的曲线是凹的，你就是风险厌恶的；反之，如果曲线是凸的，你就是风险喜好的（凸与凹正好相反）。
看起来风险厌恶是正常的。如果你认为自己是风险喜好的，下面的例子或许会改变你的想法（这个例子由丹尼尔·伯努利提出，我们在第三章已经提到过他。因为这个例子最早在俄罗斯圣彼得堡科学院的报告中被提到，所以得名）。
圣彼得堡例子
一个赌局通过多次抛掷一枚硬币、直至出现一次正面朝上来得到结果：如果只需掷一次，回报为2美元；如果掷两次，回报为4美元；如果掷三次，回报为8美元，依此类推。你需要为这个赌局准备多少钱？也就是说，你的确定性对等物是多少？暂停并思考。
如果你准备支付的金额少于该赌局的期望价值，你就是风险厌恶的，至少就这个赌局而言。尽管可能出现的回报数目是无穷的，但很容易计算出期望价值。在下表中，第一行给出数字n，表示掷出一次正面朝上所需的次数。第二行是掷n次的情况下所得的回报。第三行是需要n次才能掷出正面朝上的概率（实际就等于获得n个规定结果的概率，其中每个结果的概率为0.5，连续相乘）。第四行是由第二行的回报乘以第三行的概率所获得的结果。
把第四行中的数额相加就得到期望价值。因为这是对一个单项为1美元的无穷数列进行加总，所以总和是无穷大。因此，尽管你也许急匆匆地答应为这个赌局付1美元，你还是风险厌恶的。再次暂停并思考：根据现有讨论，你会准备付多少？随机观察显示，通常人们愿意付16美元。
测量风险厌恶
既然我们大家似乎都是风险厌恶的，从现在起，我将假定这一点。试回想，风险酬金是正的，因此当且仅当你的效用分配曲线是凹的，你是风险厌恶的。其实，效用分配曲线凹的幅度越大，风险酬金越高，因此你厌恶风险的程度也越高，这一点看似很合理。这说明，我们可以把某个财富水平点上的曲线凹度解释为你在该水平的风险厌恶量度。
如果想要这么做，我们必须能够测量曲线的凹度。我们可以在任何财富水平上测量效用分配曲线的斜率。对于任意小的财富变化来说，曲线斜率等于其垂直变化，或者说效用变化，除以其横向变化，或者说财富变化（因此，某一点的斜率就等于该点财富的边际效用）。随着财富水平变化，斜率也随之变化：如果曲线是凹的，斜率变得越来越平坦，或者说，随着财富增加，斜率减小。曲线的凹度由斜率减小的比例幅度（即斜率减小的幅度除以斜率本身）来衡量。
为说明风险厌恶量度的计算，假定你的效用分配方案是平方根分配法。那么在4000美元左右的财富水平，你的效用（大约）是：
效用分配曲线的斜率在略低于4000美元的水平等于2.0000－1.9997，即0.0003；而曲线斜率在略高于4000美元的水平等于0.0002。因此，斜率减小的幅度等于0.0001；再除以斜率本身的平均值，即除以0.00025，从而得到减小比例幅度，或者说风险厌恶量度，等于0.4。（当然这只是大约值，因为财富变化的幅度是以1美元为单位，而不是任意小的变化；此外，还有小数点进位的误差。）
还需要再确认，这一量度方式究竟在多大程度上有效。首先要注意的是：如果你的效用以线性方式变换，你的风险厌恶量度不会变化。这是因为，如果把所有效用都翻倍，斜率和变化幅度也都翻倍。而如果把所有的效用都加上7，斜率和变化幅度都不会变化。
现在来考虑我们怎样比较你我各自的风险厌恶。一个简单的方法是：如果我愿意接受任何你接受的赌局，但反之则不然，那么你比我更加厌恶风险。显而易见，当且仅当你对任何赌局的风险酬金大于我的，这一点才成立。但是，在你比我更加厌恶风险这一判断和我们的风险厌恶量度之间有没有任何联系？答案是有。当且仅当在任何财富水平上你的风险厌恶量度大于我的时，你比我更加厌恶风险。
到目前为止，我们对风险厌恶的量度看起来无懈可击。要明白哪里可能会有问题，我们需要来考虑一个赌局比另一个更具风险究竟意味着什么。试考虑下列两个公道赌局：赌局X“以概率0.4得到150美元，以概率0.6失去100美元”，和赌局Y“以概率0.2得到400美元，以概率0.8失去100美元”。假设你选择赌局X，并且如果获胜，下注250美元掷硬币。也就是说，进一步选择赌局“以概率0.5得到250美元，以概率0.5失去 250美元”。（如果在赌局X中失利，你不再继续。）采用在第三章中已经讨论过的评估复合赌局的方法，不难发现这个两阶段的赌局相当于单阶段的赌局Y。因此，赌局Y可以被看做赌局X加上一个公道赌局：我们可以很合理地说，Y比X更具风险。更普遍地，在比较公道赌局时，如果第一个公道赌局相当于第二个再加上一个或多个公道赌局，那么第一个公道赌局就比第二个更具风险。
对于非公道赌局，我们可以通过它们的风险部分，即它们相对于期望价值的得失，来比较它们的风险性。更确切地说，一个赌局的风险部分是该赌局所有的回报之和减去它的期望价值；这当然是一个公道赌局。比如，赌局Z“以0.2的概率得到500美元，以0.8的概率一无所得”，它的期望价值是100美元，而它的风险部分则是公道赌局Y。一般来说，如果第一个赌局的风险部分比第二个赌局的风险部分更具风险，那么第一个赌局就比第二个更具风险。
现在我可以回到本书主题。让我们来考虑两个赌局X和Y，两者具有相同的期望价值。如果你是风险厌恶的，那么不出所料，只要X的风险小于Y，你总会选择X而不是Y。到目前为止这很正常。但是现在来考虑两个新的赌局U和V：U比V具有更高的期望价值，但是也更具风险。如果你选择U而不是V，并且你比我更加厌恶风险，那么很自然我也会选择U而不是V。如果更高的期望价值对你来说是对额外风险的补偿，那么对我来说同样如此。如果V是个简化赌局，那么显而易见，情况就是如此。但是，一般来说，情况并非如此。
于是我们已经有了一个问题。看起来我们要么是对于风险厌恶的量度，要么是对于一个赌局比另一个更具风险究竟意味着什么这一点的理解，存在着漏洞。你要修正哪一个？
一些扩展
赌博（日常生活中的口头用法）和保险都涉及接受一个赌局（选择理论的术语用法）。赌博涉及接受一个新赌局。如果你在一局轮盘赌中下注100美元赌红色，那么你就接受了赌局X，它的回报是得到100美元（红色出现）和失去100美元（红色没有出现）。保险涉及接受一个赌局，它将抵消另一个已有的赌局。如果你有一辆价值5000美元的车有可能被偷，那么你已经有一个赌局Y，它的回报是：失去5000美元（车被偷），一无所失（没有被偷）。如果你随后接受赌局Z，它的回报是：得到4940美元（车被偷），失去60美元（没有被偷），那么你最终就是接受了净（简化）赌局，它的回报是：失去60美元，不管你的车是否被偷。接受赌局Z抵消了你的原有赌局Y：它以保险费60美元进行了投保。
如果轮盘赌只有一个轮槽为零，那么其他轮槽就包括18个红色槽和19个非红色槽（零既非红色，也非黑色），所以你的轮盘赌局X的期望价值即为：（+100×18/37）+（-100×19/37），即约等于-3美元。如果你的车被偷的概率为0.01，那么你的保险赌局Z的期望价值即为：（4940×0.01）+（-60×0.99），即-10美元。所有的商用轮盘赌都有零槽，所以在赌场玩轮盘赌就是在接受不利赌局。（所有有组织的赌博都是对游戏者不利的：极端的例子是国家彩票。下注100美元通常相当于接受一个期望价值为-50美元的赌局。）既然保险公司有成本，那么保险也相当于接受不利赌局。
图10轮盘赌，棕榈滩县
在不利条款下进行赌博或保险都没有任何不合理之处。但是，显而易见，如果你是风险厌恶的，那么你不会在不利条款下赌博，尽管你可能会保险。同样，如果你是风险喜好的，那么你不会在不利条件下保险，尽管你可能会赌博。但是，随机观察发现似乎很多人在不利条款下，既赌博也保险：他们买国家彩票，又给车上保险。如果你买了国家彩票，那么你一定是风险喜好的；如果你给车买保险，你一定是风险厌恶的。你怎么可能同时做这两件事呢？
我们对于这一难题的解答取决于这样一个事实：你可能在财富的某些水平上是风险厌恶的，但在另外一些水平上则是风险喜好的。尤其是你在贫穷的时候可能回避风险，但当你变富之后就会准备去冒险。回想一下，如果你是风险厌恶的，那么你的效用分配方案的曲线就是凹的；如果你是风险喜好的，曲线就是凸的。但是，如果你在财富较低水平是风险厌恶的，而在较高水平是风险喜好的，那么你的效用分配曲线就是在低水平凹，而在高水平凸。
举例来说，假设你现有的财富是5000美元，你的效用分配方案如下：
首先考虑下注2000美元赌一匹赛马，赔率是2比1。这个赌局将会以1/3的概率（你的马赢了）使你的财富增加到9000美元，或者以2/3的概率（你的马输了）使你的财富减少到3000美元。赌局的期望效用为：（18×1/3）+（9×2/3），即等于12。这超过了你现有财富的效用（等于10），所以你将接受该赌局。
现在考虑你的保险决定。你可以为价值6000美元的车投保，保费为2000美元。你的确定财产为5000美元，这意味着你的车已经被保险：你必须选择是否取消你的保险。取消涉及接