牛津通识读本：选择理论 [6]
一旦我们这样做了之后，我们就可以直接来描述取决于状态的主观期望效用属性：当且仅当偏好满足替换条件和连续条件时（当它们应用于状态赌局时），偏好具备这一属性。
然而，替换条件和连续条件并不保证偏好具备完全的主观期望效用属性。这需要一个新的条件：如果你在某种状态下喜欢一个赌局胜过另一个，那么你应该在所有状态下，都保持这一偏好。这一条件被称为公正条件，相比我们已经遇到的其他条件，公正条件更为严格。假设两种状态分别是下雨和出太阳，一个（简约）赌局确定提供一把雨伞，另一个赌局则确定提供一瓶水。那么你可能会违背公正条件，在下雨状态下更喜欢雨伞，而在出太阳状态下更喜欢水。
尽管较为严格，公正条件和其他两个条件一起提供了我们所寻求的描述：当且仅当偏好满足替换条件、连续条件（当它们应用于状态赌局时）以及公正条件时，偏好具备完全的主观期望效用属性。
图8不确定条件下的选择示意图：加号代表结合，双箭头代表相等，单箭头代表隐含
本章所论述的各个概念之间的联系如图8所示。
进一步扩展
在状态赌局的背景下有一个和“阿莱悖论”类似的问题叫“埃尔斯伯格悖论”。一个瓮里装着红、白、蓝三色彩球，要从中随机抽出一个。已知三分之一的球是红色的，但是白色球的比例（或者蓝色球的比例）是未知的。首先，你是否喜欢赌局U“如果抽到红色球就得到100美元，否则一无所获”胜过赌局V“如果抽到白色球就得到100美元，否则一无所获”？其次，你是否喜欢赌局X“如果抽到白色球或蓝色球就获得100美元，否则一无所获”胜过赌局Y“如果抽到红色球或蓝色球就得到100美元，否则一无所获”？
停下来想一想。如果你喜欢赌局U胜过V，那么应该同样喜欢Y胜过X。要明白为什么会这样，让我们为100美元指派效用1，为一无所获指派效用0，然后把指派给抽中红球、白球和蓝球的概率分别记做p、q和r（注意这几个主观概率都不一定等于1/3）。现在如果你喜欢U胜过V，那么U的期望效用，也就是p，一定要大于V的期望效用，也就是q。这暗示p+r一定大于q+r。因为p+r是Y的期望效用，而q+r是X的期望效用，所以这反过来意味着，如果你的偏好具备期望效用属性，你喜欢Y胜过X。
但是，在试验中，相当大比例的人声称他们喜欢U胜过V，同时喜欢X胜过Y。这意味着这些人的偏好不具备取决于状态的主观期望效用，或者说，不满足替换条件或连续条件（事实上，是前者）。出现这一现象，看起来原因在于人们偏好概率给定胜过自己去推断概率。对此，你还是应该有你自己的判断。
阿莱悖论涉及概率赌局，而埃尔斯伯格悖论则涉及状态赌局。另外还有第三种悖论，称为“纽科姆悖论”，因哲学家罗伯特·诺齐克（1938—2002）的提问而广为人知，它涉及在不确定性条件下的一般选择。假设你面前有两个箱子，一个打开，另一个关闭。你必须同时选择两者或者只是关上的那个箱子。在打开的箱子里你看到有100美元；并且你被告知存在某个超能生物，它总能正确预测未来。如果它预测到你只选那个关闭的箱子，它就会在里面放入100万美元；否则它就什么也不放。你会选择要两个箱子，还是只选关上的那个？
诺齐克向很多人提了这个问题，他发现“几乎每个人都很清楚该做些什么。困难在于这些人意见明显存在分歧，分成人数大致相当的两半，且很多人认为另一半的人极其愚蠢”。看起来任何只选关闭的箱子的人确实是愚蠢的：那个超级生物可能已经放了或者没有放入100万美元，所以你完全可以同时选择两个箱子（正如诺齐克自己在长篇累牍的分析之后将会做的那样）。但是，你应该作出你自己的回答。［在你准备回答的时候，不妨想想诺贝尔物理学奖得主尼尔斯·波尔（1885—1962）。当他被问到为什么在墙上挂了一块幸运马蹄铁时，据说他这样回答：“并不是因为我相信它；而是有人告诉我，不管人们是否相信，它都能起作用。”］
小结
不确定性条件下的选择涉及从赌局中作出选择，包括概率给定和未定两种情况。
替换条件要求，如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，那么对于这两个赌局分别以相同权重和第三个赌局组成的混合赌局，你喜欢第一个混合赌局胜过第二个。
连续条件要求，如果你喜欢第一个赌局胜过第二个，且喜欢第二个胜过第三个，那么必定存在由第一个赌局和第三个赌局组成的某个混合赌局，使得你认为它和第二个赌局无差异。
概率赌局的期望效用由以下方式计算获得：把每个回报乘以相应的概率，再把结果相加。如果你在当且仅当某个赌局具有更高期望效用时，喜欢该赌局胜过另一个，那么你对于概率赌局的偏好就具备期望效用属性。
当且仅当偏好具备期望效用属性的时候，你对于概率赌局的偏好是理性的，也就是说，满足替换条件和连续条件。
一个赌局的取决于状态的主观期望效用由以下方式计算获得：将各个状态下所获得的回报分别乘以与该状态相联系的概率，再把结果相加。如果当且仅当某个赌局具有更高的期望效用时，你喜欢该赌局胜过另一个，那么你对于状态赌局的偏好就具备取决于状态的主观期望效用属性。如果当且仅当某个赌局具有更高的期望效用时，你喜欢该赌局胜过另一个，且指派给回报的效用独立于获得该回报的状态，那么你的偏好就具备（完全的）主观期望效用。
公正条件要求，如果你在某个状态下喜欢某个赌局胜过另一个，那么你在所有状态下都偏好该赌局。
当且仅当偏好满足替换条件和连续条件（当应用于状态赌局时），偏好具备取决于状态的主观期望效用属性；当且仅当偏好在满足替换条件和连续条件的同时还满足公正条件时，偏好具备完全主观期望效用属性。
第四章 赌博与保险
我们现在暂且离开正题，来讨论在赌局中作选择的一个特例，那就是所有的回报都是一定金额的金钱。我将主要在概率给定（而不是未定）的背景下来讨论。但是，根据第三章中的讨论，概率给定的情况也可以在另一个背景下来解释，即用主观概率来代替给定概率。
对待风险的态度
我们可以用最终财富或得失数字两种形式来表达涉及金钱的赌局。例如，假设你的现有财富是5000美元，那么如果某个赌局使你的最终所得变成要么是4000美元，要么是6000美元，就可以表示为你要么获得1000美元，要么损失1000美元。我将根据不同情况，灵活使用这两种表述方式。为了作出区分，我在用得失法表示赌局时，在金额数字前加上加号或减号。
我将假定财富连续变化，这么假定的原因你随后就会明白。我还将允许讨论涉及任何赌局（除了那些可能使你的财富降为负数的赌局），不管这些赌局可能在多大程度上增加你的财富。（在此顺便提一下，这也意味着存在无穷多的回报。）
图9效用分配方案：该赌局可能使你的财富变为A点或B点，两种变化概率相等；该赌局的期望价值是你在C点的财富；该赌局的确定性对等物是你在D点的财富。这个赌局的风险酬金等于C和D两点之间的距离。
在第三章所作研究的基础上，我们可以为每个可能的回报指派基数效用。如果我们认为你从某个给定水平的财富开始，这就相当于为每个财富水平指派效用，或者说规定一个效用分配方案。比如，你的效用分配方案可能为每个财富水平（以千美元为单位）指派该水平的平方根。举例来说，在这种情况下你将给4000美元指派效用2。（我将把这个分配方案称为平方根分配方案。）一个效用分配方案可以用图表说明，横轴代表你的财富，纵轴代表你的效用。这样的分配方案（事实上是平方根分配方案）如图9所示。
该图具有多个属性。首先，曲线向上倾斜：我有充分理由假定，你喜欢财富越多越好。这正是曲线向上倾斜的原因。其次，曲线是凹的，即连接曲线上任何两点的线段都整体位于曲线之下：我将留到以后再来讨论这一重要属性。再次，曲线是连续的，即没有跳跃。这一属性隐含在曲线内凹的形状中：画一幅带有跳跃的曲线，你就可以在两点间画一条线，这条线不会整体处于曲线之下。
我将用到赌局的两个方面：它的期望价值和确定性对等物。某个赌局的期望价值可以通过下列方法来计算：将每个回报乘以它的概率，然后将所得数字相加。例如，赌局“以概率0.2获得9000美元，以概率0.5获得5000美元，以概率0.3获得1000美元”的期望价值（以千美元为单位）等于：（9×0.2）+（5×0.5）+（1×0.3），即4600美元。［期望价值与期望效用类似。但是，期望价值仅在所有回报都用同一单位（如美元）衡量时才有意义。如果不同回报的单位不同，我们就不能笼统地把它们与概率相乘，再把结果相加。］如果某个赌局的期望价值为0，我把这样的赌局称为“公道的”；如果期望价值为正，则称赌局为“有利的”；若期望价值为负，则称为“不利的”。（“公道的”在这里只用做统计学术语，没有任何伦理含义。）
某个赌局的确定性对等物是你愿意接受用来替代该赌局的金额，或者说，你愿意支付以得到该赌局的金额。更确切地说，确定性对等物指一定数额的金钱，如果能够确定得到这笔钱，你将认为它和该赌局无差异。显而易见，一个赌局有且只有一个确定性对等物。［如果我们不允许财富连续变化，只能以一定数额（如1美元）跳跃式变化，那么情况就会不同：可能你会认为1000美元不如某个赌局，而1001美元又比该赌局好。］
为说明确定性对等物的计算过程，假设你以平方根分配方案来指派效用，让我们试着分析这样一个赌局：如果接受该赌局，你的财富要么增加到9000美元（此时你的效用为3），要么减少到1000美元（此时你的效用为1），两种情况出现的概率相等。该赌局的期望效用为2，确定性对等物就是当你的效用等于期望效用（即等于2）时，你的财富水平（也就是说，等于4000美元）。如上图所示：该赌局的结果是你的财富变为A点或B点；你的期望效用等于你在C点的效用；而确定性对等物等于你在D点的财富。
如果就某个赌局而言，你喜欢在确定性条件下的期望价值胜过该赌局本身，那么我会说，你是风险厌恶的。同样，如果期望价值大于