牛津通识读本：选择理论 [5]
为了证明期望效用属性并非无关紧要，让我们回到蔬菜的例子。在这个例子中，你喜欢A胜过B，但是喜欢赌局X“以概率0.9得到B，其余情况则得到C”胜过赌局Y“以概率0.9得到A，其余情况得到C”。既然你喜欢A胜过B，我们可以指派A的效用为1，B的效用为0。把指派给C的效用记做u。那么X的期望效用为0.1u，而Y的期望效用为0.9+0.1u。因为你喜欢X胜过Y，所以期望效用属性将要求0.1u大于0.9+0.1u，这是不可能的。
在水果的例子里出现同样情况。你喜欢A胜过B，喜欢B胜过C，但是你喜欢B胜过任何可能给你A或C的赌局。既然你喜欢A胜过C，我们可以指派A的效用为1，C的效用为0。把B的效用记做u。那么，因为你喜欢B胜过赌局“以概率p得到A，其余情况得到C”，其中p小于1，所以期望效用属性要求固定值u（小于1）大于每个可能的p。同样，这是不可能的。
出现下列情况并非巧合：（1）期望效用属性在坚果例子中成立，但在蔬菜和水果例子中都不成立；（2）在蔬菜和水果例子中，替换条件和连续条件至少有一项不成立，但在坚果例子中，两个条件均满足。当两个条件均得到满足的时候（也就是说，当偏好是理性的时候），期望效用属性总是成立。于是我们可以得到一个完整的概述：当且仅当偏好具备期望效用属性时，对于（概率性）赌局的偏好是理性的。
一些扩展
如果把时间纳入考虑，情况就将发生变化。来考虑两个赌局：每一个赌局都会在一年后（从今天开始计算）给你一百万美元，条件是轮盘赌的结果是偶数，否则你就一无所获。但这两个赌局并非完全一致：在第一个赌局里，轮盘是在今天转动的，而在第二个赌局里，轮盘是在一年后转动的。不仅这两个赌局不一样，而且你也不会以同样的方式来加以考虑。典型情况下，你会偏好第一个赌局，因为对未来财富的了解可以帮助你在接下去的一年里更好地规划人生。如果知道自己将要发财，那么你可以动用储蓄，或者预先借钱，一年后从一百万里补上。但是，我们在此所讨论的静态理论无法区分这两个赌局，因此也无法在时间以这样的方式产生影响时，来指导选择。
即使在一个静态的框架里，也不是所有问题都能直接解答。试考虑一个明显的悖论，被称为“阿莱悖论”，得名于诺贝尔经济学奖获得者莫里斯·阿莱（生于1911年）。首先，你会喜欢简化赌局U“以概率1得到240美元”胜过赌局V“以概率0.33得到250美元，以概率0.66得到240美元，另有概率0.01一无所获”吗？其次，你会喜欢赌局X“以概率0.33得到250美元，以概率0.67一无所获”胜过赌局Y“以概率0.34获得240美元，以概率0.66一无所获”吗？
停下来想一想。如果你喜欢赌局U胜过V，那么你也应该喜欢Y胜过X。要弄明白为什么会这样，让我们把得到250美元的效用指派为1，把一无所获的效用指派为0，把指派给240美元的效用记作u。那么，如果你喜欢U胜过V，U的期望效用（即u）必须大于V的期望效用（0.33+0.66u）。这意味着0.34u必须大于0.33。既然0.34u是Y的期望效用，而0.33是X的期望效用，这也就意味着你的偏好具备期望效用属性，你喜欢Y胜过X。
但是，在一次试验中，相当多的人声称他们喜欢U胜过V，并且喜欢X胜过Y。这意味着这些人的偏好并不具备期望效用属性，或者说，不满足替换条件或者连续条件中的某一项（事实上是前者）。原因似乎在于人们对小概率的结果过分关注。（一定程度上这或许解释了为什么人们购买国家彩票。这些彩票提供巨额奖金，但赢取的几率极其微小。）对此你要自己作出决定，记住我在第一章里提过的对于悖论可能产生的种种反应。
基数效用在进行线性变换时保持其代表属性，但在非线性变换时却并非如此。这一事实暗示，效用的差异现在具有某种意义。如果当采用某种效用指派方式时，一对回报之间的效用差异大于另外一对之间的效用差异，那么在采用任何一种效用指派方式时，前一对效用差异总是大于后一对。由此看来，基数效用似乎可以为赞成财富再分配的观点提供支持。处理这个问题需要一个新的框架，其中所有的回报都是一定数额的金钱。相应地，我将把这部分的讨论留到下一章来进行。
状态赌局
到目前为止，概率都是已经给定的。要讨论概率未定的赌局，我们要用到“世界状态”的概念，或者简称为“状态”。状态是对任何与你的选择相关并且你不能确定的因素的详细说明。在两匹马阿尔克夫和巴拉西亚进行比赛的情况下（假定至少有一匹马能完成比赛，并且不出现平局），状态可能是“阿尔克夫获胜”或“巴拉西亚获胜”。正如本例所显示的，状态必须以这样的方式加以说明，即有且仅有一个状态会发生。
图7阿尔克夫没有获胜：左二为阿尔克夫，骑在马背上的是本书作者
状态赌局是一系列可能得到的回报，每个回报有其相应的出现状态。在上面的赛马例子中可能出现的情况是：“如果阿尔克夫获胜就赢得200美元，如果巴拉西亚获胜就输掉100美元。”我们可以把这个赌局写成：“如果A，+200美元；如果B，－100美元。”
如果阿尔克夫的赔率是2:1（下注1美元可以赢得2美元），我们可以把这个赌局称为“下注100美元赌阿尔克夫获胜”。如果巴拉西亚的赔率是1:2，那么赌局“下注100美元赌巴拉西亚获胜”就是：“如果A，－100美元；如果B，+50美元。”
状态赌局类似于具有多个回报的概率赌局，两者都包括一系列附带条件的回报：区别在于，在状态赌局中回报附带的是状态，而非概率。状态允许我们在概率没有给定时来考虑赌局的选择。这一点很重要。在几乎所有有趣的问题中，概率都是没有给定的：没人告诉你阿尔克夫获胜的概率，你的车被偷的概率，或者股市崩盘的概率。
当概率没有给定的时候，你怎么才能从多个赌局中作出明智选择？一个可行的建议是：（1）你为状态指派主观概率；（2）然后为回报指派效用；（3）然后在给定这些概率的情况下，选择带给你最高主观期望效用的赌局。为了说明这一过程，让我们回到赛马的例子，考虑一下如何在赌局“下注100美元赌阿尔克夫获胜”和赌局“下注100美元赌巴拉西亚获胜”之间进行选择。首先你为状态指派概率：设阿尔克夫获胜的概率为0.4，巴拉西亚获胜的概率为0.6。然后你为回报指派效用。三个可能获得的回报如下：
+200美元（对A下注，且A获胜）+50美元（对B下注，且B获胜）－100美元（下注的马输了）
你对这三个回报指派效用如下：
最后，你计算每个赌局在给定概率下的期望效用：如果对阿尔克夫下注，期望效用为2；如果对巴拉西亚下注，期望效用为1.8。因为对阿尔克夫下注所获得的主观期望效用大于对巴拉西亚下注时所获得的主观期望效用，你该对阿尔克夫下注。如果这样做，你对赌局的偏好就具有主观期望效用属性。你所指派的效用当然是基数的，且可以进行任何线性变换，但不能进行非线性变换。
下面来介绍一些不同的方法，我将在赛马的情景中进行逆推：我将从假定具备主观期望效用属性开始，然后来看哪些条件支持这一假定。并且，因为论述过程和概率给定的情况很相似，我将不再像当时那样展开详细论述。
基本想法很简单：通过观察选择模式，你能够推测其中的效用和概率。如果选择赌局“如果出太阳就得到鳄梨，否则就得到奶酪”，而不是赌局“如果出太阳就得到熏肉，否则就得到香肠”，这说明你喜欢鳄梨胜过熏肉，因此给鳄梨指派更高的效用。如果你同时还选择赌局“如果出太阳就得到鳄梨，否则就得到熏肉”，而不是赌局“如果下雨就得到鳄梨，否则就得到熏肉”，这说明你觉得出太阳比下雨更有可能，因此给出太阳的情况指派更高的概率。通过足够多的类似的脑力试验，你能够为所有的回报指派效用，为所有的状态指派概率。这样做了之后，你在行动时就会很自然地把这些概率和效用当做已经给定的信息，你的选择也将以取得最大期望效用为目的。
如果你的偏好具有主观期望效用属性，那么你的品位（由效用所代表）和你的信仰（由概率所代表）都是主观的。同样，你的品位和信仰是独立的：你不会因为某事更有可能发生才更看重它，也不会因为更看重某事才觉得它更可能发生。而且，你指派给某个回报的效用并不取决于你得到它时的状态：不管阿尔克夫胜或败，200美元对你来说都是一样的。最后一个要求很严苛。它可能在赛马的例子中成立，但在其他情形下则不成立。
比如，让我们试着考虑欧元的兑换率（以欧元兑美元的价格来表示）。简单起见，我将假定只有两种可能状态：兑换率上升和兑换率下降。你有两种可能的赌局：买入欧元，卖出欧元。如果买入，且兑换率上升，你获得100美元；但如果兑换率下降，你损失100美元。如果卖出，且兑换率上升，你损失100美元；但如果兑换率下降，你获得100美元。问题之所以复杂，是因为当兑换率上升时获得的100美元不同于兑换率下降时获得的100美元：在第一种情况下你要购买的进口货物的成本大于在第二种情况下的成本。更一般地，你指派给某个回报的效用取决于你得到该回报时的状态。
如果像本例这样，我们觉得主观期望效用属性过于苛求，我们可以降低要求，允许效用取决于状态。例如，你不再是给失去100美元的情况指派效用0，给获得100美元的情况指派效用1，而是可以指派效用如下：
将这些效用乘以相应的概率并将结果相加就得到一个赌局的取决于状态的主观期望效用。如果你选择了具有最高的取决于状态的主观期望效用的赌局，那么就可以说你的偏好具有取决于状态的主观期望效用属性。
显然，相比（完全的）主观期望效用属性，这是一种较弱的属性。
要看清什么样的条件可以支持（完全的或者取决于状态的）主观期望效用属性，我们必须允许状态赌局的回报本身就是赌局，正如我们允许概率赌局的回报是赌局一样。然后我们可以用类似于解释混合概率赌局的方式来解释混合状态赌局。这样做反过来