牛津通识读本：选择理论 [12]
这一概述也许是完整的，但是它能吸引别人注意吗？答案很清楚，不能。因为这一法则不仅可能无法作出理性的甚至只是合理的选择，它还可能无法作出任何选择。要明白这一点，来考虑下面的例子。
多数的例子
我们选择使用多数法则。当我们的排序如下时：
没有我们可以选择的选项：我们中有两人把A列在B之上，所以我们不能选B（无论是单选或是和其他选项一起复选）；有两人把B列在C之上，所以我们不能选C；有两人把C列在A之上，所以我们不能选A。
这不是个小问题：试回想第一章中的讨论，不选择任何选项（与选择某个标明“一无所有”或“现状”的选项正相反）是没有意义的。那么，多数法则可能是空洞的。如果我们需要一个能确保有效的法则（更不用说产生理性的，或者哪怕合理的选择），我们必须进一步考察。
我将从规章产生合理选择的要求开始。我们知道如果我们需要群体选择是合理的，那么我们不能同时要求满足强条件和匿名条件。因为唯一满足这些条件的法则是多数法则，而它是不合理的。那么我们必须放宽某些条件。我将首先来看，如果我们用弱条件替换强条件，会有什么结果，然后再考虑如果我们放弃匿名条件会有什么结果。（我甚至都不考虑放弃弱条件的最低要求。）
要弄清如果我们用弱条件替换强条件会有什么结果，让我们回到帕累托法则：如果所有人都偏好某个选项，且不存在其他选项满足所有人偏好，群体将选择该选项。正如我所提到的，这一法则显然满足一致要求。同样，它显然也满足独立条件和匿名条件。但这一法则合理吗？试回想，第二章中曾提到，如果存在某个“至少一样好”关系使得被选中的选项至少和其他选项一样好，那么选择是合理的（如果这一关系具有传递性，选择就是理性的）。在帕累托法则下，其实存在这一关系：如果每个人都偏好第一个，那么该选项好于第二个；如果两个选项中，没有哪个相对另一个是所有人一致偏好的，那么这两个选项无差异。
我们或许可以注意到在本例中这一关系并非传递性的，所以群体选择不是理性的。要明白这一点，回到帕累托例子，在其中（初始）排序如下：
这里我们从A和B两个选项中复选A和B，从B和C两个选项中复选B和C，但只从A和C中单选A。因此，“至少一样好”关系如下：
A和B无差异
B和C无差异
A好于C
显然这不具备传递性。
但是，帕累托法则的确能产生合理选择，并且满足各种条件。其实，反之也成立。我们有了完整的概述：当且仅当产生合理选择的规章采用帕累托法则时，它满足独立条件、一致条件和匿名条件。
要了解如果我们放弃匿名条件但保留强条件会产生什么结果，我将引入“首领”的概念。如果群体总是选择你排名最高的选项，并且只选择你所选的这些选项，除非其他人都将另外一些选项排名最高（在此情况下群体也复选其他人的选择），那么你在该规章下就处于首领位置。具有首领（他必须是唯一的）的规章称为首领制的。下例说明这样一种制度。
首领制例子
我们选择使用首领制，你是我们的首领。我们的偏好排序如下：
当我们必须在A和B之间选择时，我们选A，因为你将A排名最高，而我们其他两人并没有一致将B列在A之上；当我们必须在B和C之间选择时，出于类似原因，我们选B；当我们必须在A和C之间选择时，我们复选A和C，因为你将A排名最高，而我和蒙蒂都将C列在A之上。当我们必须从完整菜单中选择时，我们选择A，因为你将A排名最高，而我和蒙蒂并没有一致将某个选项列为最优。
注意在本例中群体选择是合理的。“至少一样好”关系如下：
A好于B
B好于C
A和C无差异
但是，这一关系不具备传递性，所以群体选择同样不是理性的。总体来说，由首领制法则规定的选择可能是合理的，但不能保证是理性的。
我们现在可以说明，如果我们保留强条件结果将会如何。情况不容乐观：任何产生合理选择且满足中性条件和响应条件的规章必定是首领制的。
如果我们要求群体选择是合理的（这个要求其实是必须的），我们没有太多余地。如果我们想保留匿名条件（以及弱条件），我们只有采用帕累托法则；如果我们想要保留强条件，我们只有采用首领制法则。帕累托法则在它有效的范围内不容置疑，但它只涉及很小范围：除非是在所有人都一致同意的情况下（这不太可能），否则帕累托法则总是从一对选项中同时复选两者，这没有太大帮助。首领制法则却能应对多数情况：它们总是只选择一个选项。但是，如果你不是首领，你愿意在这样的法则下生存吗？
理性规章
我现在来考虑如果我们强化要求，把群体选择是合理的，改为是理性的，会有什么结果。要满足这一强化要求，我们不得不放宽强化条件中的一个或者同时放宽两个。因为唯一满足强条件并产生合理选择的制度（即首领制），无法保证产生理性选择。我将做得彻底，用弱条件来代替两个强条件：留给我们的就是作为可接受规章的绝对最低要求。
要了解在此情况下会有什么结果，我将引入独裁者的概念。在某个规章下，如果群体总是恰好选择你排名最高的那些选项，那么你就是独裁者。有独裁者（他必定是唯一的）的规章称为独裁的。显然，独裁者是某种首领，但一个首领不一定是独裁者。独裁制规章的例子，最明显的莫过于群体选择总是和你的选择一样的情况：因为你是理性的，这一法则也产生理性选择。
我们现在可以来看，如果我们只要求最低的弱条件，会产生什么结果。情况更糟糕：任何产生理性选择，且满足独立条件和一致条件的规章必定是独裁制的。
这一结果被称为“阿罗不可能定理”，得名于诺贝尔经济学奖得主、哲学家肯尼斯·阿罗（生于1921年）。它被称为不可能定理，因为它可以被解释为规章不可能同时具备四个属性：理性、独立性、一致性和非独裁性。这是选择理论最为根本但也最让人烦恼的结果之一。它暗示，所有关于“国家利益”的言论都是空谈（除非众人一致同意，但这种情况不太可能发生。在一致同意的情况下，不可能定理就是多余的）。
不可能定理和本章所阐述的其他概念之间的联系如下图所示：
图15群体选择示意图：加号表示结合，双箭头表示对等，单箭头表示隐含
因为不可能定理的中心地位，也为了说明选择理论中所使用的这类论证方式，我将给出证明（仅此一次）。如果对此不感兴趣，你完全可以忽略论证过程，跳到这部分的结尾。
证明包括四个阶段。策略是假定理性、独立性（这一属性只是隐含的）、一致性和非独裁性同时成立，然后说明随之产生的自相矛盾。矛盾意味着不可能同时具备所有属性。
首先，如果群体里存在这样一部分人的集合，每当集合里的人都选择第一个选项，而群体里其余人选择第二个选项时，群体只单选第一个，那么我把该集合称为对这两个选项是有效的。我将证明如果某个集合对于一对选项产生有效影响，那么它对所有成对选项都产生有效影响。假定某个集合对于成对选项U和V有影响，试考虑如下偏好排序，包括集合中的所有人和其他所有人：
因为一致性，群体从X和U之中单选X；因为集合对于两个选项具有有效影响，群体从U和V之中单选U；因为一致性，群体从V和Y之间单选V。然后，它从X和Y之中单选X，因为选择是理性的。因为集合里所有人都喜欢X胜过Y，而其余所有人都喜欢Y胜过X，这意味着集合对于X和Y具有有效影响。因为X和Y是任意的，所以集合对所有成对选项产生有效影响。
第二，如果群体中存在一部分人的集合，对于所有成对选项，每当集合里的所有人都偏好第一个选项时（不管群体里其他人的偏好），群体在成对选项中都单选第一个选项，那么我将把该集合称为决定性的。我将证明如果（对于任何成对选项）某个集合是有效的，那么它就是决定性的。假定某个集合是有效的，考虑下列三个选项的偏好排序，包括集合中的所有人和其余所有人：
其中X\Z指X和Z可以任意排序。因为集合是有效的，群体在X和Y之间单选X；因为一致性，它在Y和Z之间单选Y。那么它在X和Z之间单选X，因为选择是理性的。既然集合中的每个人喜欢X胜过Z，且其他所有人可以对X和Z任意排序，那么该集合就是决定性的。
第三，我将证明，如果集合不是决定性的，那么向集合中再增加一个人也不会使它变为决定性的。因为只含一个人的集合不可能是决定性的，否则那个人就是独裁者，所以必然存在一些非决定性集合。选择某个这样的集合以及某个不在集合内的人，来考虑以下偏好排序方式，包括集合内的所有人、特定的那个人和其他所有人。
因为那个人不是决定性的，群体不能在Y和Z之间单选Z，因此它在Y和Z之间选Y，但不一定单选。因为集合不是决定性的，群体不能在X和Z之间单选X，因此它在X和Z之间选择Z，但不一定单选。因为群体的选择是理性的，那么它在X和Y之间选择Y，但不一定单选。既然在原始集合增加一个人后所得到的扩大集合中每个人都喜欢X胜过Y，那么扩大集合就不是决定性的。
最后，我将证明存在矛盾。如果我们向非决定性集合中增加足够多次数的个人，我们得到作为一个非决定性集合的整个群体。但是因为一致性，整个群体必然是决定性的。这一自相矛盾的结果说明，不可能同时具备四项属性：理性、独立性、一致性和非独裁性。证毕。
一些扩展
对不可能定理最明显的批评是它没有考虑“偏好强度”：我喜欢X胜过Y和你喜欢Y胜过X被认为是一样的，尽管对我来说是否拥有X无所谓，但对你来说是否拥有Y就是生死攸关的事。这是独立条件所造成的结果之一，即群体在两个选项X和Y之间的选择只取决于个人对于X和Y的偏好。这一条件包括两部分：第一，群体选择并不取决于个人对于X或Y和其他选项之间的偏好排序；第二，除偏好排序以外，它不取决于个人对于X和Y的其他任何态度。特别是，不取决于他们的偏好强度或效用。
在博尔达例子的框架下，我们已经为第一部分作了辩护。在那个例子里，在两个选项之间作选择取决于除了这两个选项，在完整菜单上还有哪些其他选项。但是其他选项是任意的。如果我们不清楚是否有驴子，我们要不要把骑驴旅行列入菜单？我们要不要把借助某种尚待研究的技术进行旅行列入菜单？如果要，我们该如何详细说明这些尚