牛津通识读本：罗素 [6]
罗素的首要工作是用无可再少的纯逻辑概念来界定数学的概念。（这里将出现三段非正式的讲技术的文字，读者不必望而生畏。）设“p”与“q”代表命题，这些逻辑概念是：否定（非p），析取（p或q），合取（p并且q），蕴涵（如果p，那么q）。除了这些运算之外，还有表示内部结构的符号：“Fx”是一个其中有代表任何个体的变量“x”的函项，而“F”则是代表任何属性的谓词字母。这样“Fx”就表示x是F（它所表示一个例子是：“这棵树高”）。罗素能够使用的重要技术进展之一是一种量化这类函项的方法。使用目前逻辑上通用的符号，表示量化的方式如下：（x）表示“所有的x”，所以（x）Fx表示所有的x都是F，（Ǝx）表示“至少有一个x”，所以（Ǝx）Fx表示至少有一个x是F。最后则是等同的概念：“a=b”表示a和b不是两件东西而是同一件东西。使用这种简单的语言就可能界定数学的概念。
较早的数学家已经探讨过数学概念之间的关系，看出这些概念全都可以化约为自然数（1、2、3等用来计算的数字），尽管还没有一个人精确证明这一点。所以计划的第一步就是用逻辑概念来界定自然数。这是弗雷格早已做的工作，尽管罗素在当时并不知道这件事。
这种界定使用了类的概念：2是由所有成双的事物组成的类，3是由所有三件事物组成的类，以此类推。而反过来“双”则被界定为具有分子x和y的类，这里x和y互不等同，而且如果这个类中有另外的分子z，那么z等同于x或y。数的一般定义是通过相似的类所构成的集合来表述的，在这里“相似性”是一个表示一一对应的关系的精确概念：如果在两个类的分子之间可以确定具有一一对应的关系，这两个类便是相似的。
分清这些概念之后，许多问题便得以解决，其中有：怎样界定0和1（罗素指出，这些是最困难的数学问题当中的两个），怎样克服“一与多”的难题（一把椅子包含多少事物：它是一还是多——如果你算一下其各部分和成分的话？）以及怎样理解无穷大？一旦界定了全部数字，那么其他种类的数（正数和负数、分数、实数、复数）便不会有多大困难。
所以计划的第一部分——用逻辑概念界定数学概念——看起来大部分是不成问题的，只要用上正确的技术。第二部分——完全属于逻辑主义的部分，它表明数学真理可以从逻辑的基本原理得到证明——却遇到了极大的困难。
照罗素当时的观点看，造成这种困难的主要原因是他发现了悖论。这个悖论涉及上面概述的一个对该计划至关重要的概念，即类的概念。在罗素的研究过程中，他被引向考虑这一事实，即有些类是其自身的一个分子，而有些类则不是。举例说，茶匙组成的类不是一个茶匙，所以不是其自身的一个分子；但是不是茶匙的事物组成的类却是其自身的一个分子，因为它不是一个茶匙。那么由所有这些不是其自身的类所组成的类又是什么情况？如果这个类不是其自身的一个分子，那么根据定义它便是其自身的一个分子；而如果这个类是其自身的一个分子，那么根据定义它便不是其自身的一个分子。因此它既是其自身的一个分子又不是其自身的一个分子。这就出现了悖论。
最初罗素认为毛病出在某个微不足道的错误上，但是在他为了解决问题付出很大努力并且在征求过弗雷格和怀特海的意见之后，他才明白这里的问题是个灾难。罗素在发表《数学的原理》时并没有找到补救的办法。但是到他与怀特海合写《数学原理》时，他认为已经找到了一条出路，然而他的策略却招来很多争议。情况可以讲述如下。
罗素发现，要从纯逻辑的公理演绎出数学的定理不能不依靠辅助性公理来进行，这些辅助性公理使得证明算术和集合论中的某些定理成为可能。两个辅助性公理（其细节并不重要；我提到它们是为了完整性）是“无穷公理”（意思是说世界上有无穷多的集合）和“选择公理”（有时也叫“乘法公理”，意思是说对于每一个由没有相同分子的非空集合组成的集合来说，都存在着一个与每个子集恰好有一个相同分子的集合）。人们需要这些公理，以便让数用类来界定，正如上面所说的那样。但是这两个公理看来都包含一种困难，这就是它们的性质都是关于存在的，即它们表示“有如此这般的东西”。就第一个公理说是数，就第二个公理说是集合，而这就成了一个问题，因为逻辑并不应该涉及什么事物存在或不存在，而只是关心纯形式问题。但是罗素却发现了一个解决方法，即把数学句子看作条件句，也就是具有“如果——那么——”形式的句子，用这些公理填满“如果”的空白：这样它们就表示“如果你以这个公理为前提，那么——”。由于这些条件句本身可以从逻辑公理中推导出来，表面上引进的关于存在性质的考虑就没有什么重要性了。
但是第三个辅助性公理即“可还原性”公理产生的困难却大得多。这是罗素用来克服悖论问题的公理，然而其他逻辑学家却认为难以接受。
可还原性公理与罗素的“类型论”是联系在一起的。要理解这个理论，通俗一点讲就是要看到出现罗素所发现的悖论乃是因为，把不是其自身的一个分子这种属性应用到由所有具有该属性的类所组成的类上。如果引进一种限制，使这种属性只应用于子类，而不应用于由这些类组成的类，那么悖论就不会出现。这使人想到在属性之间应该有某种类似层次区别的东西，例如那些归属于某一层次的属性不能归属于高一级的层次。
有一种类型论的说法，它比罗素的类型论要简单；这种类型论抓住了这一直观认识并被某些逻辑学家认为言之成理。这是数理哲学家弗朗克·拉姆齐所提出的，叫作“简单的类型论”。其要点是：应用于某一话域的语言具有一级层次的表达式（即名称），它们指称该领域内的事物；它具有二级层次的表达式（即谓词），它们只指称这些事物的属性；它还具有三级层次的表达式（即关于谓词的谓词），它们只指称那些属性的属性——以此类推。规则是每一个表达式都属于一个特殊类型并且只能应用于整个等级中下一个类型的表达式上。依照这种非正式的概述，人们会看出这种策略怎样让人想到一个解决悖论问题的方法。
罗素的较复杂的类型论叫作“类型支论”。（如何正确理解这个理论是个有争议的问题，可参阅海尔顿著《罗素：观念论与分析哲学的兴起》的第七章，但是可以把下面的概述当作一个初步的简要说明。）罗素引进类型支论（即在类型之内再分为“阶”）的理由在于他认为在解决悖论问题上特别需要它。他认为悖论问题产生于试图用包含涉及“一切属性”的表达式来界定属性，所以关于“一切属性”的说法必须严格加以限制。比如说，类型1的属性因此就要再分为不同的阶：“一切属性”这个表达式不出现在第一阶属性的定义中；“第一阶的一切属性”这个表达式出现在第二阶属性的定义中；“第二阶的所有属性”这个表达式出现在第三阶属性的定义中；以此类推。因为从不涉及不从属于一个特定阶的“一切属性”，所以没有任何属性是通过涉及它所从属的整体来界定的。这就避免了悖论。
但是这样做却付出了很大代价。它给实数理论引进一些困难，因为把其中最重要的定义和定理都给阻挡在外了。为了克服这个问题，罗素又引进了可还原性公理，这个公理试图找到一种方法，将一个类型中的阶还原为最低的阶。这一策略曾被一位评论家说成是使用“暴力”来拯救实数理论，罗素在《数学原理》的第二版（1927）中也放弃了它。但是因为他不能承认类型支论之外还有另外的解决办法，所以就陷入了困境。为了应付这种局面，拉姆齐才提出了上面简述过的“简单”类型论。（也应该看到拉姆塞的理论也有其自身招来的争论。这个理论提出了一个有争议的主张，即认为那些将属性归属自身的定义所带有的循环性是无害的；它还要求对未下定义前的整体的存在抱着同样有争议的实在论观点。）
罗素雄心勃勃的逻辑主义构想陷入了困难境地，部分由于这些构想自身的原因，部分则由于逻辑主义本身就行不通，正如以后的数学发展（特别是库尔特·哥德尔的工作）所表明的那样。哥德尔表明在任何适合数论的形式系统中都有一个不可判定的式子，即这个式子或其否定均不能得到证明。由此得出的一个推论是，这样一个系统的一致性不能在该系统之内得到确认。所以人们不能认为数学（至少是其中大部分）可以有一组足以产生所有数学真理的公理。罗素的工作表明公理的方法有其深刻的固有的局限性，也表明要证明许多种类的演绎系统的一致性，唯一的办法就是使用一种很复杂的系统，以致其自身的一致性也同样让人置疑。
罗素要求他的逻辑主义方案完成一种排除可能有矛盾存在的形式系统化工作。哥德尔的工作说这是不可能的。由此得出的结论必然是：《数学的原理》以及特别是《数学原理》的成就不在于它们实现其既定目标的程度，而在于它们对逻辑和哲学所产生的也许可以称为“副产品”的许多重要影响。
摹状语理论
最有影响力的“副产品”之一就是罗素的“摹状语理论”。罗素在创建这个理论上达到了几个不同的目标。他从反对观念论的争论中得到的一个教训是：语言的表层语法可能对我们所说的话的意义产生误导作用。正如上面所指出的，导致哲学家采用实体与属性的形而上学（正如哲学史上的争论所表明的，这是一种陷入深刻困境的观点）的理由是，他们将一切命题都看作基本上属于主谓语形式。“桌子是木料制作的”和“桌子在门的左边”都被认为以“桌子”这个表达式为主语，并以两句中在连系词“是”后面的表达式为谓语。但是尽管第一个句子也许可能表达一个具有该种形式的命题，第二个句子却是某种十分不同的命题，即一个关系命题：实际上它有两个主语（“桌子”和“门”），它断言两者处在一种特殊的相互关系之中。所以第二个句子的逻辑形式十分不同于第一个句子的逻辑形式，因此按照罗素的观点，需要有一种方法显示我们所说的话的深层形式，以便帮助我们避免哲学上的错误。
罗素采取的下一个重要步骤便是将新逻辑应用于这项工作上。正如用它来界定数学的概念和运算一样，我们也能用它来分析我们关于世界所说的话，从而得出实在的正确图像。
显示摹状语理论怎样完成这项工作的一个方法就是讲述它怎样解决一个关于意义与所指的重要问题。罗素处理这个问题的背景可以在奥地利哲学家亚历克修斯·迈农的著作中找到。罗素认真研读过他的著作，所以曾在早期受到他的影响。迈农认为指示表达式（类似