牛津通识读本：简明逻辑学 [13]
我们用a来表示我们实施某种行为。为了简化起见，我们假设有两种可能的结果。我们用o1来表示一种可能，用o2来表示另一种可能。最后，我们用V（o）来表示o为真时我们赋予它的值。那么，a的期望值E（a）就是以下算式所决定的数字：
pr（o1）×V（o1）+ pr（o2）×V（o2）
（严格地说，这里的概率应该是条件概率pr（o1∣a）和pr（o2∣a）。但在上例中，骑自行车对下雨的概率没有任何影响。在下面所谈到的例子中，情况也是如此。因此，我们在这里能够坚持使用简单的先验概率。）
到目前为止一切都还顺利。但是这是如何帮助我决定是否去骑自行车的呢？我知道骑自行车的总体价值。如我们刚才所见，它的期望值为8.5。不骑自行车的期望值又是多少呢？要么下雨，要么不下雨——我们还是假设它们具有前文提到的概率。现在的两种结果为：1）天会下雨，我待在家里；2）天不会下雨，我待在家里。不管在哪一种情况下，我都得不到骑自行车的乐趣。如果不下雨，心情会更糟糕。那样的话，我也许会对自己没有去骑自行车而感到懊恼。但是，这两种情况都不会像被淋得湿透了那样糟糕。因此，如果下雨的话，期望值也许就是0；而不下雨的话，期望值就为-1。现在，我可以计算出待在家里的期望值：
0.1×0+ 0.9×（-1）
经计算可得到结果为-0.9，这就给了我所需要的信息；我应该选择那个具有最高总值（即期望值）的行动。这样的话，骑自行车的期望值为8.5，而待在家里的期望值为-0.9。因此，我应该去骑自行车。
因此，假设要在命题a和﹁a之间进行选择的话，我会选择期望值更高的那一个命题。（如果它们的概率相同，我就只能任意选取一个，比如说通过抛硬币来进行选择。）在前面的例子中，只有两种可能性。一般来说，也许有更多的可能性（比如说，骑自行车、看电影和待在家中）。但其中的原则却是一样的：我计算每种可能性的期望值，并选择期望值最高的那一种可能。这种推理是逻辑学的一个分支——决策论的一个简单例子。
现在，我们再回到帕斯卡赌注的讨论上。在这个例证中，有两个可能的行为：相信或者不相信；并且存在两个相关的可能性：上帝存在或者不存在。我们可以用下表来描述相关的信息。
斜线左边的数字是相关概率，比如说，存在上帝的概率为0.1，不存在上帝的概率为0.9。（我是否相信对于是否存在上帝没有什么影响，因此表中两行中的概率是相同的。）斜线右边的数字是相关值。我不太关心上帝是否存在，重要的是我要让它正确；因此，这两种情况下的值为＋102。（也许人们的偏好不会完全相同，但我们将会看到这没有多大关系。）如果上帝不存在却相信上帝的存在，就会有小小的不方便，因此赋予-10的数值。如果上帝存在却不相信他的存在，那确实就很糟糕了。我赋予它的值为-106。
有了这些值之后，我们就能计算相关的期望值了：
E（b）=0.1×102 + 0.9×（-10）0
E（﹁b）=0.1×（-106）+ 0.9×102 -105
（表示“约等于”。）我应该选择期望值更大的行为，就是相信上帝的存在。
你也许认为我所选择的精确值有点不那么真实，它们确实如此。不过，实际上，精确值没有多大用处。重要的是-106这个值。这个数字意味着某种特别糟糕的事情。（有时，一个决策论主义者也许会把这一数字写成-∞。）它表示的情况非常糟糕，以至于上帝存在的概率即使非常低，它也会把其他所有数字掩盖。这就是帕斯卡赌注中的效力。
表面上看，赌注论也许很有说服力，但事实上，它犯了一个简单的决策论上的错误。它忽略了一些相关的可能性。不仅有可能存在一个神，而且有可能存在许多个：一个基督教的神（上帝）、伊斯兰教的真主阿拉、印度教的婆罗门，以及其他许多小宗教所信仰的神。这些神当中有很多是嫉妒心很强的。如果上帝是存在的，而你却不信仰他，那么你就会有麻烦了；但是如果阿拉存在而你又不信仰他，你同样也会有麻烦……而且，如果上帝是存在的，而你却信仰阿拉——或者反过来——这会更糟糕。因为不管是在基督教还是在伊斯兰教当中，信仰错误的神要比什么都不信仰更让神难以容忍。
我们把更现实的信息列于下表：
如果用这些有限的信息来计算期望值的话，我们可以得到：
E（n）= 0.9×102 + 0.01×（-106）+ 0.01×（-106）-2×104
E（g）= 0.9×（-10）+ 0.01×102 + 0.01×（-109）-107
E（a）= 0.9×（-10）+ 0.01×（-109）+ 0.01×102 -107
现在看起来，情况相当令人沮丧。但很明显的是，信仰神灵有很大风险。
与其他各章一样，在结束本章讨论时我要说说人们为何会担心所使用的整体框架——特别是刚才讨论的根据最大期望值进行决策的策略。在很多情形下，这的确会产生错误的结果。
我们假设你在帕斯卡赌注上下错了赌注，结果到了地狱。几天之后，魔鬼出现了，要给你一个机会。上帝下了命令，说你会得到某种宽恕。因此，魔鬼想出了一个方案。他会给你一个机会逃离地狱。你可以抛硬币；如果硬币落地后为正面，你就可以走出地狱，去往天堂。如果硬币落地后为反面，你就会永远待在地狱。不过，抛硬币并不是一个公平的方法，魔鬼控制着其中的概率。如果你今天抛硬币的话，正面的概率为1/2（即1-1/2）。如果你等到明天抛的话，概率会上升到3/4（即1-1/22）。你可以把信息列在下表：
逃离地狱具有很大的正值，待在地狱具有很大的负值。而且，这些值不管是在今天还是在明天都是一样大。如果你等到明天抛的话，你也许就得在地狱里多待上一天，这是千真万确的；不过，这一天的时间与后面无穷无尽的日子相比可以忽略不计。于是你进行了下面的计算：
E（d）= 0.5×106 + 0.5×（-106）= 0
E（m）= 0.75×106 + 0.25×（-106）= 0.5×106
因此，你决定等到明天才抛硬币。
但是，明天魔鬼又来了，说如果你再等上一天，概率会更高：逃离地狱的概率会上升到7/8（即1-1/23）。请读者自己进行相关的运算吧。于是你应该再等一天。问题是，每天魔鬼都来，说如果你再多等一天，概率就会更大。日复一日，概率越变越大：
1-1/2，1-1/22，1-1/23，1-1/24 ……1-1/2n ……
图13 一个魔鬼的方案：永远不要做你应该推迟到明天才做的事情。
你每天都进行计算。等到第n天，你抛硬币的期望值就变成了：
（1-1/2n）×106 + 1/2n ×（-106）
稍有点算术知识的话，我们就可算出，这等于106 ×（1-2/2n）= 106×（1-1/2n-1）。n + 1天的期望值也是这样计算的，只要用n + 1来替换n就可以了。最后得到106 ×（1-1/2n），结果还要更大些。（1/2n要比1/2n-1更小。）每过一天，期望值就会更大。
于是，你每天都理性地进行推理计算，因而决定等到明天再抛。结果你永远都没有抛硬币，因而你永远待在了地狱！不管在哪一天抛硬币都会比这要好得多。因此，你要做的唯一理性的事情似乎就是不再理性！
本章要点
·E（a）= pr（o1）×V（o1）+ ……+ pr（on）×V（on），其中o1 ……on表示a为真时所有可能的结果。
·理性行为就是实践具有最大期望值的行为。
第十四章 逻辑学史简述与进一步的阅读建议
我们在本书中所讨论的这些思想是在历史上不同时期和不同地区发展而来的。在本章中，我将简要地描述一下逻辑学史，并确定这些思想的历史背景。我将首先从总体上简要地描述一下逻辑学史的轮廓；然后我再逐章进行勾勒，解释一下这些细节是如何被纳入更大的历史背景之中的。
在阐述过程中，我会给一些进一步阅读的建议，这样你可以就想研究的问题进行深入地探究。这可不像想象中那样简单。总的说来，逻辑学家、哲学家和数学家喜欢为彼此写文章。所以，要找到为初学者写的文章就不那么容易了，不过我已尽了最大努力。
在西方思想史中，逻辑学发展共有三大时期，就像三明治那样，其间夹杂了一些相当荒芜的时期。第一个时期是公元前400年至前200年的古希腊。这一时期最有影响力的人物为亚里士多德（公元前384—前322），我们在第六章里已经提到过他。亚里士多德发展了一种叫作“三段论”的系统推理理论，这种推理的形式如下：
所有［一些］A是［不是］B。
所有［一些］B是［不是］C。
因此，所有［一些］A是［不是］C。
亚里士多德一生中的大部分时间都生活在雅典，他建立了一个叫作“学园派”的哲学流派，通常被认为是逻辑学的创始人。但是，几乎就在同一时期，在雅典以西50公里的迈加拉，出现了另一个非常盛行的哲学流派。关于迈加拉的逻辑学家，我们所知甚少，但是他们似乎对条件句特别感兴趣，对逻辑悖论也饶有兴趣。欧布里德（我们在第五章和第十章中提到过）就是迈加拉的一位逻辑学家。大约在公元前300年，在雅典兴起了另一个非常重要的哲学运动。这个运动被称为斯多葛学派，因该学派早期讲学集会的地方——走廊（希腊语对应词为stoa）而得名。尽管斯多葛学派关注的哲学论题远不止于逻辑学，但逻辑学是其中一个重要的论题。人们一般认为，迈加拉的逻辑学对斯多葛学派的逻辑学家产生过重要的影响。不管怎样，斯多葛学派的逻辑学家关注的一个重要方面就是研究否定、合取、析取和条件句的特性。
这里需要提到的是，在古希腊出现这些逻辑学流派时，几乎同时在印度出现了主要由佛教逻辑学家提出的许多逻辑学理论。尽管这些理论很重要，但当时它们还没有达到西方逻辑学已具备的缜密程度。
西方逻辑学的第二个发展时期是从12世纪到14世纪，在中世纪的欧洲大学，比如巴黎大学和牛津大学里繁荣起来。中世纪著名的逻辑学家包括邓斯·司各特（1266—1308