牛津通识读本：简明逻辑学 [12]
2.pr（g∣o）﹥pr（﹁g∣o）
pr（o∣g）所表示的概率很高并不意味着pr（g∣o）也很高。比如，假设你在野地里看见了一只袋鼠，那么你身处澳大利亚的概率就很高。（在其他地方看到的话，只能是从动物园里跑出来的。）但是，假如你身处澳大利亚，你在野地里看见一只袋鼠的概率就很低。（我在澳大利亚居住了十年才看见过一次。）
pr（o∣g）和pr（g∣o）被称为一组逆概率，刚才我们的所见表明，要让设计论证起作用，逆概率之间的关系必然是不等式2而不是不等式1所表示的。是不是这样呢？实际上，在逆概率之间存在着一种非常简单的关系。还记得前一章所讲的条件概率CP等式吧，根据定义我们知道：
pr（a∣b）= pr（a＆b）/pr（b）
因此，我们可得到：
3.pr（a∣b）×pr（b）= pr（a＆b）
类似地，我们知道：
pr（b∣a）= pr（b＆a）/pr（a）
因此，可得到以下等式：
4.pr（b∣a）×pr（a）= pr（b＆a）
但是pr（a＆b）= pr（b＆a）（因为a＆b和b＆a为真时的情形完全相同）。因此，由等式3和4可得到：
pr（a∣b）×pr（b）= pr（b∣a）×pr（a）
假设pr（b）不为0——下面我都作了这样的假设，不再一一说明——我们由上面的等式得到：
Inv：pr（a∣b）= pr（b∣a）×pr（a）/ pr（b）
这就是逆概率之间的关系。（等式的右边先是一个b后面跟着一个a；然后是一个a后面跟着一个b。）
用逆概率等式替换不等式1的两边，我们可得到：
消去不等式两边的pr（o），我们可得到：
或者再调整不等式的两边，我们可得到：
还记得吧，要让设计论证起作用，我们得采用不等式2，由之可得到：
再由不等式5可知，我们只能得到，即：
pr（g）≥pr（﹁g）
pr（g）和pr（﹁g）的值被称作先验概率；也就是说，g和﹁g的概率先于任何证明（比如o）的应用。因此，要是本论证切实可行的话，我们需要让存在神灵的先验概率大于（或等于）不存在神灵的先验概率。
就是这样吗？很不幸的是，没有理由这样认为。实际上，似乎情况正好相反。假设你不知道今天是星期几。我们用m来表示今天是星期一，那么﹁m则表示今天不是星期一。哪个可能性更大？m还是﹁m？肯定是﹁m，因为今天不是星期一的情形更多。（今天可能是星期二、星期三、星期四……）关于神灵的推理也是同样。令人信服的是，宇宙本来就可以有许多不同的构成方式，从直觉上看，不太可能是按照非常有序的方式形成的：有序是特别的设计。这终究给了“设计论证”有力的回击。不过这样的话，存在一个秩序制定者的宇宙的可能性就相对很小了。因此，从先验角度看，不存在宇宙创造者的可能性要比存在的可能性大得多。
所以，我们的讨论表明，“设计论证”是不成立的。该论证具有诱导性，因为人们经常把概率和与之对应的逆概率混淆，因而回避了论证的核心部分。
许多归纳论证都需要我们对逆概率进行推理。在这方面，“设计论证”并不是一个特例。不过，许多论证在利用逆概率进行推理时更为成功。请让我举例加以说明。假设你去当地的轮盘赌娱乐场。那里有两个转轮，我们称之为A和B。你的一个朋友告诉你，其中一个转轮的转序是固定的——尽管这个朋友不能告诉你是哪一个。一个公平的转轮应该一半时间是红色，一半时间是黑色，而该转轮为红色的概率为3/4，为黑色的概率为1/4。（严格地说，真正的转轮偶尔也会出现绿色；但为了简化，我们就不考虑这个事实了。）现在，假设你观察其中的一个转轮，比如说A，连续转五圈，有以下结果：
R，R，R，R，B
（R表示红色，B表示黑色）。你是否有充足的理由推理认为这就是那个转序固定的转轮呢？换言之，我们用c来表示出现了这样特殊的顺序，并用f来表示转轮A的转序固定。由c推理得到f是一个很好的归纳推理吗？
我们需要知道不等式pr（f∣c）﹥pr（﹁f∣c）是否成立。使用逆概率等式把这个不等式转换成逆概率之间的关系式：
将不等式两边都乘以pr（c），可得到：
pr（c∣f）×pr（f）﹥pr（c∣﹁f）×pr（﹁f）
这个不等式正确吗？首先一个问题是，f和﹁f的先验概率是多少？我们知道，要么A要么B的转序是固定的（但不会两个同时固定）。我们没有理由认为，更可能是A而不是B，或者更可能是B而不是A。因此，是A的概率为1/2；同时，是B的概率也是1/2。换言之，pr（f）= 1/2，且pr（﹁f）= 1/2。因此，我们可以把这两个概率同时从不等式的两边消去，这样，相关条件就变成了：
pr（c∣f）﹥pr（c∣﹁f）
假设转轮转序固定的情况就像所描述的那样，观察到命题c所陈述的转序的概率，即pr（c∣f）的值为（3/4）4×（1/4）。（如果你不知道这其中的原因也不要紧：你就相信我的推算吧。）这个值也就是81/45，经计算得到0.079。假设转轮转序不固定，那么能观察到相关转序的概率，即pr（c∣﹁f）的值为（1/2）（5还是请相信我的推算），经计算可得到0.031。这个值小于0.079。因此，这个推理是有效的。
我们这里计算先验概率的方法值得注意。有两种可能性：要么转轮A的转序是固定的，要么转轮B的转序是固定的。我们没有可用以区分这两种可能性的信息。因此，我们赋予它们相同的概率。这是一种被称为中立法则的应用。该法则认为，当我们有许多可能性且它们之间没有相关的差异时，它们全都具有相同的概率。因此，如果存在N种可能性，那么每一种可能性的概率就为1/N。中立法则是对称原理的一种。
请注意，我们不能把该法则应用到“构思论证”上。在转轮赌例证中，有两个完全对称的可能情形：要么转轮A的转序是固定的，要么转轮B的转序是固定的。在“设计论证”中，有两种情形：要么存在一个为宇宙创造者的神，要么不存在一个为宇宙创造者的神。但是这两种情形的对称性还不如“今天是星期一”和“今天不是星期一”的对称性高。如我们前面所见，仅凭直觉来看，不存在宇宙创造者的可能性要远远大于存在的可能性。
中立法则是对概率进行直觉推理的一个重要部分。我们在结束本章讨论时要注意到，应用中立法则时并非毫无问题。众所周知，某些应用会产生悖论。以下就是其中的一个。
假设一辆汽车在中午时离开昆士兰州首府布里斯班去300公里以外的某个城市。汽车的平均时速保持在50公里/小时至100公里/小时。那么到达时间的概率又是怎样的呢？如果它以100公里/小时的速度行进的话，就会在下午三点钟到达；如果它以50公里/小时的速度行进的话，就会在下午六点钟到达。因此，它会在三点到六点之间到达。这两个时间的中间点为下午四点半。因此，根据中立法则，汽车在四点半以前到达的概率和四点半以后到达的概率一样大。但是，现在的问题是，50公里/小时与100公里/小时的中间时速为75公里/小时。因此，还是根据中立法则，汽车以75公里/小时以上的速度行驶的概率和以75公里/小时以下速度行驶的概率一样大。如果它以75公里/小时的速度行驶，它就会在下午四点到达。因此，它在下午四点以前和四点以后到达的概率一样大。尤其是，一旦如此，下午四点半以前到达的概率更大。（这样会多出半个小时。）
请读者自己考虑这个问题吧。我们在一章之内讨论这么多的概率问题已经足够了！
本章要点
·假如许多可能性之间没有相关的差异，那么它们都具有相同的概率（中立法则）。
第十三章 决策论：很高的期望值
我们最后再来看一个有关归纳推理的问题。这个问题有时被称作实践推理，因为它是关于人们如何行动的推理。下面是一个非常著名的实践推理。
你可选择相信（一个基督教的）上帝的存在，也可选择不相信。我们假设你选择了相信。要么存在上帝，要么不存在。如果存在上帝，一切都好说。如果不存在，那么你的信仰就会带给你小小的不便：这意味着你浪费了一些时间去教堂做礼拜，而且也许做了其他许多本来不想做的事；但是所有这些都不是灾难性的。那么，我们现在反过来假设你选择不相信上帝的存在。同样，要么存在上帝，要么不存在。如果上帝不存在，一切都好说。但是，如果确实存在上帝，那你就麻烦了！你死后会遭许多罪；如果得不到宽恕的话，你也许会永世不得翻身。因此，任何聪明人都应该相信上帝的存在。这是唯一谨慎的行为。
为了纪念第一个提出此论证的17世纪哲学家布莱斯·帕斯卡[1]，人们现在通常把这一论证叫作帕斯卡的赌注。对于这个赌注，人们又有什么要说的呢？
我们来思考一下这类推理是如何展开的，我们先举一个不那么有争议的例子。当我们行动时，往往不能确定最后的结果，这种结果也许超出了我们的掌控。但是我们通常能估计出不同可能的结果有多大的可能性；而且同样重要的是，我们能估计出各种不同的结果对我们的价值。按照惯例，我们可以通过向一种结果赋予以下等差数列中的一个数字来测算其价值，这个等差数列在两个方向上都是无限的：
……-4，-3，-2，-1，0，+ 1，+ 2，+ 3，+ 4……
正数表示好，越往右越好。负数表示差，越往左越差。0是中立点：我们不倾向于任何一方。
现在，假设我们要开始某种行动，比如说去骑自行车。然而，天也许会下雨。不下雨的话，骑自行车是件很令人高兴的事，因此我们会给它赋予一个正数，比如说+10。但是，要是下雨的话，骑自行车会是件相当痛苦的事，因此我们会给它赋予一个负数，比如说-5。我们应给我们唯一能够控制的事情——骑自行车赋予什么样的值呢？我们可能只是把两个数字-5和+10加在一起，但那样的话就会遗漏掉非常重要的部分。也许下雨的可能性最低，因此，尽管可能下雨是不好的，但我们并不给这种可能性赋予很大的权重。假设下雨的概率为0.1；相应地，不下雨的概率为0.9。那么，我们可以把具有相应概率的值进行加权，以得到总值：
0.1×（-5）+ 0.9×10
这