牛津通识读本：数学（中文版） [9]
我们再一次把一条涉及无穷的陈述，视为对一条更复杂的、关于近似的命题的方便表达。另一个更具提示性的词语是“极限”。一个无穷小数是一列有限小数的极限，瞬时速度是通过测量越来越短的时间内走过的距离所得近似值的极限。数学家经常谈论“在极限时”或者“在无穷时”的情况如何，但他们都很明白，他们并没有把这种说法完全当真。如果强迫他们说出确切意思，他们就会转而谈论近似。
3. 半径为r的圆面积为πr2
无穷可以借由有穷的情况来理解——人类对这一点的认识就是19世纪数学的伟大胜利之一，不过这种思想的根源能够追溯到更早。我的下一个例子是讨论圆面积的计算，就将使用阿基米德在公元前3世纪所提出的论证。不过，在开始计算以前，我们应当明确要算的是什么，这个问题并没有乍看上去那么简单。什么是面积？当然，它是图形里某种东西的量（二维的东西），但怎样才能精确表达呢？
不论它是什么，对特定形状来说，它看起来当然是很容易计算的。例如，如果矩形的边长为a和b，那它的面积就是ab。任何直角三角形都可以被看作把矩形沿一条对角线切下一半所得，因此它的面积是对应矩形面积的一半。任意三角形都可以分割成两个直角三角形，任意多边形都可以分割成一系列三角形。因此，要算出多边形的面积并不会太难。不必去烦恼我们算的到底是什么，我们只要单纯地将多边形的面积定义为此计算结果即可（只要我们能够确信，将多边形切割成三角形的不同方法不会导致不同的答案）。
当我们考虑边缘为曲线的图形时，问题就来了。将圆切割成若干个三角形是不可能的。那么当我们说圆的面积是πr2时，我们谈的是什么呢？
这又是抽象方法大有用处的一个例子。让我们不要关注面积是什么，而是关注面积能够做什么。我们要对这个说法作一些澄清，因为面积看上去做不了什么事情——它只不过是就在那里而已。我所说的意思是，我们应当关注，关于面积的任何合理概念所应具有的一些属性。下面列出了五条。
Ar1 移动图形，图形面积不变。（更正式的说法：两个全等的图形面积相等。）
Ar2 如果一个图形完全包含于另一个之内，那么第一个的面积不大于第二个。
Ar3 矩形的面积通过它的长宽相乘得到。
Ar4 将图形切成若干部分，则各部分面积之和等于原图形的面积。
Ar5 图形向各方向扩张为原来的2倍，则图形面积变为原来的4倍。
如果回过头来看，你会发现我们利用了属性Ar1、Ar3和Ar4来计算直角三角形的面积。属性Ar2看起来非常显然，几乎无须一提，不过作为公理正应如此，而且我们后面还会看到它会多有用。属性Ar5尽管很重要，其实并不需要作为一条公理，因为它能从另外几条中推导出来。
我们怎样利用这些属性来谈论圆面积的含义呢？截至目前，这一章所要向读者传达的信息就是，不要考虑一步到位的定义，考虑面积的近似可能会有收获。我们可以采取下面这种办法轻易做到。想象一个图形画在一张布满细密方格的纸上。由属性Ar3，我们知道这些方格的面积（因为正方形只是特殊的矩形），所以我们可以数一数有多少正方形完全处于图形以内，以此来估计图形的面积。举例来说，图形中包含了144个小方格，那么图形的面积至少是144乘以单个方格面积。注意，我们所真正计算的面积仅是144个方格所构成的图形的面积，此面积由属性Ar3和Ar4可以很容易地确定。
对于图18所示的图形，这并不能给出正确的答案，因为还有若干个方格部分位于图形之内、部分位于图形之外，我们还没有计入它们的面积。不过，有一种改进估值的明显方法，就是把每一个小方格分成四个更小的方格，改用它们来计算。和之前一样，又有一些方格部分位于图形外、部分位于图形内，但这回我们已经多包含进了一些完全在图形之内的小方格。一般来说，方格划分得越密，我们在计算中能够计入的原图面积也就越多。我们发现（这一点并没有看上去那么显然），随着把网格画得越来越密，方格越来越小，计算的结果也就越来越接近于某个数，就像近似值的平方越来越接近于2一样，于是我们就将这个数定义为这个图形的面积。
图18 曲线图形面积的逼近
所以，从数学的角度来讲，某个图形的面积为一平方码的含义是这样的：在特定的容许误差范围之内，无论多小，总可以找出充分密集的方格，由位于图形内的小方格来近似计算，得到的计算结果与一平方码之差少于给定误差。（在脑子里某处可能有这样的想法——但已经被压制住了：“在极限下”可以使用无穷多无限小的方格来得到确切的答案。）
还有另外一种说明方法，也许能够说得更清楚。如果一个曲线图形的确切面积是12平方厘米，要求我用方格法来表明这一点，这个任务是不可能完成的——我需要用无穷多的方格才能做到。但是，如果你给出任何其他不同于12的数字，比方说11.9，那我都可以用一套方格来确定地证明它的面积不是这个数：我只需使网格足够密，让没有计入的部分小于0.1平方厘米即可。换句话说，在不涉及无穷的情况下，我不去证明它的面积是12，而是满足于证明它的面积不是别的任何数。图形的面积是我所不能证伪的那个数。
这些思想给了面积一个令人满意的定义，但仍给我们遗留下一个问题。我们要怎样来说明，如果采用上述过程来估计半径为r的圆的面积，估计值就会越来越接近πr2呢？对于大多数图形来说，答案是必须使用到积分，我这本书中不会去讨论它。但对于圆来说，正如我之前所提到的，我们可以使用阿基米德的绝妙论证。
图19表示的是，将圆切成一片一片，再组合成接近于矩形的形状。因为每一小片都很窄，所以矩形的高度大约为圆的半径r。同样因为每一片很窄，这个准矩形的上边和下边都近似于直线。上下两边各用了圆的周长的一半，由π的定义知圆的周长为2πr，则两边长度均近似为πr。因此，准矩形的面积是r×πr=πr2——至少是近似如此。
图19 阿基米德说明圆面积为πr2的方法
当然了，事实上准矩形的确切面积就是πr2，因为我们所做的只不过是把圆切开，再移动各部分而已，但是我们目前还不知道这一点。到现在为止，这个论证可能已经使你确信了，但其实还没结束，因为我们还必须表明，随着切开的片数越来越多，上述近似值会越来越接近πr2。一种非常简明的方法是利用两个正多边形，一个恰好包含在圆内，一个恰好包含圆。图20用六边形说明了这一点。内接多边形的周长小于圆的周长，而外切多边形的周长大于圆的周长。这两个多边形都可以切成多个三角形，再拼合成平行四边形。一点简易的计算就能够表明，较小的平行四边形面积小于r乘以内接多边形周长的一半，因而小于πr2。类似地，较大的多边形面积大于πr2。如果切出的三角形数量足够大，那么这两个多边形面积之差就会越来越小，想要多小就有多小。因为圆总是包含着小多边形，并被大多边形所包含，所以它的面积必然恰为πr2。
图20 由多边形逼近圆
第五章 维度
高等数学有个显眼的特征，它的大部分内容涉及高于三维的几何。这个事实令数学家以外的人感到很困惑：直线和曲线是一维的，曲面是二维的，形体是三维的，但怎么会有东西是四维的呢？一旦物体具有了高度、宽度和厚度，它就完全填充着空间的一部分，而且看起来已经没有其他维度施展的余地了。有人会提出第四维是时间——在特定情境下这是个不错的回答，比如在狭义相对论中。但它并不能帮助我们理解诸如二十六维乃至无穷维的几何，而这些几何在数学上又都很重要。
高维几何又是一例最好从抽象角度来理解的概念。让我们不去担心二十六维空间的存在等等，而去考虑它的性质。你可能会疑惑：这东西连是否存在都不确定，怎么可能考虑它的性质呢？不过这样的担心很容易解决。如果丢弃“这东西”一词，那么这个问题就变成了：连拥有这种性质的对象是否存在都不知道，怎么可能考虑这种性质呢？但这个问题一点都不困难。比如说，我们完全可以思考一位美国女总统可能会具有的特质，即便并不能保证就会有一位女总统。
我们会期待二十六维空间有什么样的性质呢？最明显的一种，即使它成其为二十六维的性质，是它通过二十六个数来确定一点，就像两个数确定二维空间中一点、三个数确定三维空间中一点一样。另一个性质是，如果你取一个二十六维形体，使它在各个方向上都扩张两倍，那它的“体积”——假设我们能够使这个词有意义——应当乘以226。此外还有其他的一些性质。
若最终发现二十六维空间的概念在逻辑上不能自洽，那这样的思考就没什么意思了。为了消除疑虑，我们终归还是要表明它是存在的——如果它不自洽，明显就不存在——不过是从数学而非物理的角度。这么说的意思是，我们需要定义一个恰当的模型。它可能并不非得是依附于某种东西的模型，但如果它具有我们所想要的全部性质，那它就表明这些性质是逻辑自洽的。不过，一如往常，结果表明我们将定义的这个模型非常有用。
怎样定义高维空间？
定义这个模型出奇地容易，只要怀有一个想法——坐标系。我前面说过，二维中的一点可以由两个数确定，三维中则需要三个数。常规做法是采取笛卡尔坐标系，之所以这样称呼是因为它是由笛卡尔发明的（他声称自己是在梦中产生这个想法的）。在二维上，先画出垂直相交的两个方向。例如，一个方向可能向右，另一个方向径直向上，如图21所示。给定平面上任意一点，你都可以通过水平移动一段距离（如果是向左移动，则认为是向右移动了负的距离），再转90度并垂直移动另一距离到达这一点。这两段距离给了你两个数，这两个数就是你所到达的这一点的坐标。图21中显示出了坐标为（3，2）