牛津通识读本：数学（中文版） [8]
这个错误给我们造成了一点麻烦，不过只要我们保持勇气继续下去倒也没什么大不了的。接下来要相加的两个数字是8和4，我们可以在这第三位上记下一个2，然后将上一位的4改为5加以修正。这个过程还会出现，在第四位我们会先写下一个5，然后修正为6。
注意，这样的修正有可能会在写下该位结果的很久之后才出现。例如，我们要计算1.355 555 555 555 555 557 3加2.544 444 444 444 444 445 2，会首先写下3.899 999 999 999 999 99，但再往下算一位，即7加5时这一连串的9就不得不修正。就像一连串多米诺骨牌一样，这些9一位接一位地变为0。不过这样的计算方法仍然是行得通的，最后得到计算结果3.900 000 000 000 000 002 5，它让我们能够对如何将无穷小数相加赋予意义。不难看出，没有哪一位数需要修正一次以上，所以如果我们有两个无穷小数，那么两数之和的第53位（打个比方），要么是我们在上述过程的第53步写下的那个数，要么是之后修正的那个数——如果有必要修正的话。
我们想要对这一论断赋予意义：存在一个无穷小数，其平方为2。要做到这一点，我们必须首先看一看这个无穷小数是怎样产生的，然后再去理解让它和自己相乘意味着什么。可以预料到，无穷小数的乘法会比加法更为复杂。
首先，有一个产生这个小数的很自然的办法。这个数肯定在1和2之间，因为12=1，小于2，而22=4，大于2。如果你一一计算1.12，1.22，1.32，一直到1.92，你会发现1.42=1.96小于2，而1.52=2.25大于2。所以必然在1.4和1.5之间，因此它的小数展开一定是以1.4开头。现在假设你已经以此办法算出的前八位数字是1.414 213 5。你可以继续如下的计算，得到下一位数字是6。
1.414213502=1.9999998236822500
1.414213512=1.9999998519665201
1.414213522=1.9999998802507904
1.414213532=1.9999999085350609
1.414213542=1.9999999368193316
1.414213552=1.9999999651036025
1.414213562=1.9999999933878736
1.414213572=2.0000000216721449
重复这一过程，你想算出多少位都可以。虽然这样的计算永远无法结束，但是你至少有了一种清晰明了的方法，能给定小数点后第n位的数字，无论n取何值：小数点后有n位数，平方不大于2的最大小数，的小数点后第n位数字就与它的最后一位相同。例如，在所有小数点后有两位的小数中，1.41是平方不大于2的最大的一个，所以展开到小数点后两位是1.41。
让我们记最终得出的无穷小数为x。是什么让我们能够坚信x2=2呢？我们可能会给出如下的理由。
12=1
1.42=1.96
1.412=1.9881
1.4142=1.999396
1.41422=1.99996164
1.414212=1.9999899241
1.4142132=1.999998409469
1.41421352=1.99999982368225
1.414213562=1.9999999933878736
上述算式列表显示了的小数展开位数越多，自身相乘得到的小数点后的数字9就越多。因此，如果把完整地展开到无穷多位，我们应该得到无穷多个9，而1.99999999…（9无限循环）等于2。
这样的论述会导致两个困难。其一，为什么1.999999…等于2？其二，也是更严重的一个问题，“完整地展开到无穷多位”是什么意思？这是我们首先想努力搞懂的问题。
为了解决第一个困难，我们必须再次搁置一切直觉。在数学中，人们的确普遍认为1.999999…等于2，但这个事实并不是经由某种形而上学的推理过程发现的。相反，它只是种传统习惯。但这也绝不是毫无理由的传统，因为如果不采纳它，我们就必须发明怪异的新对象，或者抛弃一些熟悉的算术规则。比如，如果你坚持1.999999…不等于2，那么2-1.999999…是什么呢？如果这是0，那么你也就抛弃了一条有用的规则：若x-y=0 ，则x必定与y相等。如果这不是0，那这个数就没有通常的小数展开（否则，你从2中减掉这个数，得到的就不是1.999999…，而是较小的别的数），所以你必须创造一个新的对象，诸如“0加小数点后无穷多个0，之后是个1”。如果做这样的事，那你的麻烦才刚刚开始。这个神秘的数自乘是什么东西呢？小数点后无穷多个0，之后再来无穷多个0，之后是个1？如果你用它乘以10呢？你得到的是不是“无穷多减1”个0，之后是个1？1/3的小数展开是什么呢？用它乘以3，答案是1还是0.999999…？如果你遵循了惯用的传统，这一类难以对付的问题就不会产生了。（虽难以对付，但也并非全然不可能：在1960年代，亚伯拉罕·罗宾逊发现了对“无穷小”数的一个条理清晰的定义，但正如其名“非标准分析”所暗指的，这套理论还没有成为数学界的主流部分。）
第二个困难是更实实在在的困难，但它也是可以绕过去的。我们不去试图想象对无穷小数进行长乘计算，而仅仅将陈述x2=2解释为，x展开位数越多，平方的结果就越接近2，一如我们已经观察到的。为了更确切地说明这一点，假设你仍然坚持想要一个数，它的平方以1.9999…开始。我会向你建议1.414 21这个数，它是由x的前几位给出的。因为1.414 21很接近1.414 22，我预期它们的平方也会很接近（这很容易证明）。但根据我们选择x的办法，必然有1.414 212小于2而1.414 222大于2。因而这两个数都很接近于2。只要检查一下：1.414 212=1.999 989 924 1，于是我们就找到了满足条件的一个数。如果你想要一个新的数，其平方开始几位是
1.999999999999999999999999999999999999999999999999999…
那我可以用同样的办法，只不过多取x几位而已。（事实上，如果你想要n个9，那取到小数点后n+1位就足够了。）无论你想要多少个9，我都可以办到，这一事实正是无穷小数x自乘等于2的含义。
请注意，我所做的是“驯服”无穷，只是将涉及无穷的陈述单纯解读为一种生动的简化，其所指的乃是一条不涉及无穷的累赘得多的陈述。关于无穷的简洁陈述是“x是平方等于2的无穷小数”。可以大致翻译成：“有这样一种规则，对任意n，它能够切实地给出x的前n位数字。这使我们能够算出任意长的有限小数，它们的平方接近于2，只要算得足够长，想要有多接近就能有多接近。”
我是不是在说，x2=2这个外表简单的陈述的真正意思其实非常复杂呢？某种意义上我的确是这个意思——这条陈述确实隐含了复杂性；但从更重要的意义上讲，我并非是指这个意思。固然，在不提及无穷的情况下，要定义无穷小数的加法和乘法是很难的，而且我们还必须检查这个复杂的定义遵从第二章中列出的那些规则，诸如交换律和结合律。但是，一旦给出了这个定义，我们就可以再次无拘无束地进行抽象思考。关于x，重要的是它的平方等于2。关于“平方”一词，重要的是它的含义以某种乘法定义为基础，这种定义遵循着恰当的规则。x的第一万亿位是什么并不是真正紧要的，乘法的定义有多复杂也不真正紧要。
2. 我们经过那个路灯柱时时速为40英里
假设你坐在一辆正在加速的小轿车里，看着速度表的指针稳定地从时速30英里移动到时速50英里。我们很容易说，在某个时刻——恰在指针扫过40的那一瞬间——汽车以时速40英里的速度行驶。在那个时刻以前，车速小于它，在之后车速大于它。但是，说仅在某个瞬间车速为每小时40英里，这是指什么意思呢？如果汽车没有加速，那我们可以测量它一小时走过多少英里，从而得到它的速度。（更具操作性的是，观察它在30秒内走过多远，再乘以120。）但是，这种办法对加速的汽车显然无效：测量它在一段时间内走过多远，只能算出这段时间内的平均速度，并不能得到特定瞬时的速度。
如果我们能够测量在无穷小的一段时间内汽车走了多远，那问题就不存在了，因为这样速度就没有时间发生变化。如果这段时间是t小时，t是个无穷小的数，那么我们可以测量汽车在t小时走过多少英里，记测量结果为s，它当然也是一个无穷小的数，用它除以t就得到了汽车的瞬间速度。
这种荒唐的幻想引起的问题相当类似于前面遇到的情况，当时我们简要地考察了1.999999…可能不等于2的思想。t是0吗？如果是，那很明显，s必然也是0（没有时间流逝，汽车不能走过任何路程）。但是，无法通过0除以0来得到清楚明白的答案。如果t不是0，那在这t小时之内汽车就会加速，从而导致测量无效。
要想理解瞬时速度，我们就要利用这样的事实：如果t非常小——比如百分之一秒，则汽车没有时间去加速太多。设想对于某个时刻，我们不去试图计算确切的速度，改而用一个较准的估计来代替。这样，如果我们的测量装置是精确的，我们就能知道汽车在百分之一秒内走了多远，然后把这段距离乘上一小时内百分之一秒的数量，即乘以360 000。这个答案并不会特别准确，但既然汽车在百分之一秒内加速不多，这个答案就给了我们一个相当接近的近似值。
这个情况让我们回想起1.414 213 52相当近似于2这一事实，于是类似地，我们可以不用再操心无穷，或者说是本例中的无穷小。假设我们不是在百分之一秒内测量，而改为在百万分之一秒内测量，那汽车的加速就更少了，因而得到的答案会更加精确。这种观察让我们有了一种办法