牛津通识读本：数学（中文版） [7]
毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯的著名定理所讲的是，假设一直角三角形的三边长为a、b和c，其中c是斜边长（直角所对的边），则a2+b2=c2。这个定理有若干种证明，其中有一种特别简短，而且很容易理解。它差不多只需要下面两幅图即可。
图13 毕达哥拉斯定理的简短证明
图13中，我标为A、B、C的正方形，边长分别为a、b、c，因而面积分别为a2、b2、c2。因为四个三角形的移动并没有引发面积的改变，也没有使它们重合，所以两幅图中，大正方形去掉四个小三角形所得的面积应当是相同的。但在左图中，这个面积是a2+b2，而右图中则是c2。
缺角正方形网格的铺地砖问题
这里有个著名的难题。画八横八纵正方形网格，去掉相对的两个角。你能用多米诺骨牌形状的地砖——每一块正好覆盖两个相邻方格，把剩余部分覆盖吗？我在图中（图14）表明，如果用四横四纵来代替八横八纵，你是办不到的。假设你决定用一块地砖覆盖我图中标为A的区域，那么容易看出，你必须还要把地砖放到B、C、D和E的位置上，剩下一个小方格无法覆盖。既然右上角的格子无论如何总要覆盖住，而仅剩的另一种覆盖的方式也会导致类似的问题（通过位置的对称关系），所以覆盖整个图形是不可能的。
如果我们用五来代替四，网格的铺设仍然是不可能的，原因很简单，每块地砖占两个方格，而小方格总数是23——是个奇数。但是82-2=62是个偶数，所以我们不能把这样的论证用于八横八纵的方格。另一方面，若想找到一种类似于刚才四横四纵情况中我给的证明，你很快就会放弃，因为你所需要考虑的可能情况实在太多了。那对这个问题应该怎样入手呢？如果你从没接触过这个问题，我强烈建议你在继续阅读之前先尝试求解一下，或者暂时跳过下一段，因为如果你解决了它，你将能够对数学中的愉悦感有很好的理解。
图14 缺角正方形网格的铺地砖问题
对于无视我建议的读者——经验表明这些人占大多数，有一个词几乎可以代表全部证明：国际象棋。国际象棋的棋盘是八横八纵的方格。每个小格交错地填上黑色和白色（就象棋游戏本身来考虑似乎并不是必要的，不过能够使视觉看起来更轻松）。两个相对的顶角方格颜色是相同的。如果它们都是黑色的，那么一旦把它们去掉，剩下的棋盘就有32个白格子和30个黑格子。每一块骨牌只能覆盖两种颜色的方格各一块，所以一旦你放进了30块骨牌，无论是怎么放的，最终都必然剩下两个白方格，它们是无法覆盖的。
这个简短的论证极好地表明，证明何以能够不仅仅保证陈述的正确性。例如，四乘四方格去掉相对两角无法被覆盖，这条陈述我们现在有了两种证明。一种是我前面给出的，另一种是四乘四版本的象棋盘论证法。这两种证明都得到了我们想要的结果，但只有第二种给了我们一种关于无法覆盖的类似推理的东西。这样的推理能够立即告诉我们，一万乘一万的方格去掉相对的两角也是无法覆盖的。第一种论证则只能告诉我们四乘四的情况。
第二种论证有个值得瞩目的特征，它完全依赖于一种思想，这种思想虽出人意料，但一经理解便显得非常自然。人们经常很困惑，为什么数学家有时会用“优美”、“漂亮”甚至“绝妙”来形容一些证明。这样的例子就让我们对其含义有了一点理解。音乐也能够提供一个有用的类比：一段乐曲刚开始可能沿意想不到的和声方向行进，过后却感觉到非常完美恰当，或者一段管弦织体呈现出整体大于部分之和的境界，其方式我们还无法全然理解——每当这些时候我们就会为之陶醉。在数学证明中，有突如其来的启发，有出人意料却自然而然的思想，还有引人入胜、有待进一步发掘的暗示，这些都能够给我们带来类似的愉悦感。当然，数学的美不同于音乐的美，可音乐的美同样也不同于绘画的美、诗歌的美、姣好面容的美。
三条看似显然实则需要证明的陈述
较高等的数学中，有一点让很多人感到费解：其中有一些定理看上去非常显然，简直无须证明。遇到这样的定理时，人们常常会问：“如果这都不算显然，那还有什么才算呢？”我一位先前的同事对此给了一个很好的回答：如果脑子里立刻就有证明，那么这条陈述才是显然的。在本章的剩余部分，我将给出三条陈述作为例子，它们看上去都是显然的，却无法通过这样的检验。
1. 算术基本定理的内容是，每个自然数有且仅有一种被写为素数乘积的方式，不考虑先后顺序。例如，36=2×2×3×3，74=2×37，再如101本身就是一个素数（在这样的语境下，它就是单个素数的“乘积”）。观察过这些较小自然数，人们马上就会确信，根本不可能有两种不同方式把一个数表示为素数乘积。这就是这个定理看似几乎无须证明的主要论点。
但它真的有那么明显吗？7，13，19，37，47都是素数，那么，如果算术基本定理是显然的，7×13×19不等于37×47也应该是显然的。我们当然可以检验出，这两组数确实不同（任何数学家都会告诉你，其中一个比另一个更有意思[1]），但这并不说明它们显然会不相等，也不能解释为什么我们不能另外找到两种素数乘积得到相同的结果。实际上，这个定理并没有很简单的证明方法。如果你脑子里立刻就有了证明，那你的脑子一定很不寻常。
2. 设想你用一段正常的绳子打了一个宽松的结，然后把绳子两端熔合在一起，得到了如图15所示的形状即数学家所称的三叶结。在不把绳子切断的情况下，有没有可能把这个结解开呢？当然不可能。
但为什么我们倾向于说“当然”呢？我们有没有立刻就想到一种论证？可能有——看起来，任何解开结的努力似乎都难以避免地会使得这个结更为繁复。然而，要把这样的直觉转换为有效的证明却是很难的。所谓显然，只不过是没有简单的方法解开这个结。难点在于需要排除所有的可能性，说明先把结变复杂再最终解开它也是不可能的。应当承认，这看起来不太可能，但是，数学中的确存在着这样的现象，甚至在日常生活中都是存在的：比如，为了把房间收拾干净，常常在开始时有必要先把它弄得更乱一些，而不是把所有东西都塞进橱里。
图15 三叶结
3. 平面中的一条曲线，是指笔尖不离开纸面的情况下，你所能画出的任何东西。如果曲线永远不和自己相交，就称它为简单的，如果它最终回到起点处，就称它为闭合的。图16显示了这些定义在实际图形中的反映。图中第一条曲线既是简单的也是闭合的，在平面上围出一块区域，即曲线的内部。很明显，所有简单闭合曲线都将平面分成两部分：曲线里面和曲线外面（如果把曲线本身也看作一部分，就是三个部分）。
这真的有那么明显吗？当曲线不太复杂的时候的确如此。但如图17所示的曲线呢？如果你在靠近图形中心处选一点，点在曲线里面还是外面并不显然。你可能想，大概的确不太显然，可它终归必定会有一个里面和一个外面，哪怕曲线很复杂，在视觉上很难辨别。
图16 四种曲线
图17 黑点在曲线里面还是外面？
应该怎样来确证这样的看法呢？我们可能会尝试用如下的办法来区别里面和外面。我们暂时假设，确实存在曲线的里面和外面，那么每次穿过曲线的时候，必定要么是从里面穿到外面，要么是从外面穿到里面。于是，如果你想确定点P是在里面还是在外面，你只需从P出发画一条线，一直画到远离曲线的另一点Q，也就是使Q明显位于曲线外面。如果画的这条线和原曲线相交奇数次，那么P位于曲线里面，否则位于曲线外面。
这种论述的问题在于，它把许多事情当作理所当然的了。例如，如果你从P出发画另一条线，画到曲线外另一点R，你怎么知道结果不会不同呢？（结果不会不同，但这需要证明。）实际上，任意简单闭合曲线都有里面和外面这一命题，正是一个著名的数学定理，称作若尔当曲线定理。无论它看起来多么显然，它都需要证明，而且任何我们已知的证明都非常困难，远远超出了本书的论述范围。
第四章 极限与无穷
在上一章中，我努力指出：原则上，数学证明如何可以完全形式化。如果从特定的公理开始，遵循特定的规则，最后以有趣的数学陈述结束，那么这样的陈述就可以当作定理接受，否则就不能被视为定理。这种思想，即从少数几条公理出发演绎推导出许多复杂的定理，可以追溯到欧几里得。欧几里得只用了五条公理就建立起几何学的主要体系。（关于他的公理，我们将在第六章中讨论。）有人可能提出这样的问题：为什么直到20世纪，人们才认识到这样的思想可以应用于整个数学系统当中呢？
主要的原因可以被归结为一个词：无穷。出于种种原因，无穷这一概念在数学中必不可少，但却很难严格化。在本章中，我将讨论三条陈述。其中每一条乍看起来都普普通通，但经过仔细的考察，会发现最终都涉及到无穷。随之就产生了困难，本章的主要内容就是如何处理这样的困难。
1.2的平方根约为1.414 213 56
上面这条简单陈述仅仅在说一个不大的数差不多等于另一个数，哪里涉及到无穷了呢？答案就藏在“2的平方根”这个短语里面，这个短语隐含假设了2的确存在一个平方根。要想透彻地理解这条陈述，我们就必须问一问，2的平方根究竟是个什么样的对象。于是无穷就来了：2的平方根是一个无穷小数。
注意，下面这条紧密相关的陈述就不涉及无穷的问题：1.414 213 56的平方约为2。这条陈述完全是有限的，但是看起来所谈论的基本上是同样的事情。我们稍后就能看到，这一点至关重要。
说一个无穷小数的平方等于2，这是什么意思呢？在学校里，我们学过有限小数如何相乘，但从没学过无穷小数的乘法——不知出于什么缘故，我们仅仅假设它们能够参与加法和乘法，而不去深究。这运算应该如何完成呢？为了看看会出现何种困难，我们先来考虑加法。当我们把两个有限小数相加时，比方说2.3859加3.1405，我们将一个数写在另一个数下面，从右向左将对应的数位相加。我们从最末端的数位开始做加法——9加5，得到14，于是写下4，并进1。接下来，我们再加倒数第二位——5加0，以及进上来的1，得到6。依此类推，我们就得到了最终的结果5.5264。
现在假设有两个无穷小数。我们不可能从最右端开始，因为无穷小数根本没有最后一位。那么我们要如