牛津通识读本：数学（中文版） [6]
不过这并不意味着分歧永远不会出现。比如一种常见的情况：某人炮制了一篇极长的证明，在某些地方不够清楚，同时还包含许多小错误，但并非明显可见的根本性错误。要想下结论说这样的论点是否能做到滴水不漏，通常要耗费巨大的工作量，而这样的工作却没有太高的回报。即使是提出证明的人自己可能也不愿意做，生怕会发现他的证明是错的。
虽然如此，争论在原则上必然能够解决这一事实的确使数学独一无二。没有任何一个学科像数学一样具有这一特性：有些天文学家仍然固守着宇宙的稳态理论；关于自然选择究竟有多大的解释力，生物学家各自都抱有极为不同的坚定信念；关于意识与物质世界的关系，哲学家们具有根本性的分歧；经济学家也追随着观点截然相反的不同学派，如货币主义和新凯恩斯主义。
理解前面“在原则上”这个短语是很重要的。没有哪个数学家愿意费心写出证明的完整细节——从基本公理开始，仅通过最明显、最易于检查的步骤来推导出结果。即使可行，也并不必要：数学论文是写给经过严格训练的读者的，无须事无巨细详细说明。而如果某人提出一个重要的论断，其他数学家发觉难以理解其证明，他们就会要求作者详细解释。这时，把证明步骤分解为较易理解的小步骤的过程就会开始。同样因为听众都是经过严格训练的，这个过程通常不需要进行太久，只要给出了必要的解释或者发现了其中的错误就可以了。因此，对某个结果的一个证明如果的确是正确的，那几乎总会被数学家当作是正确的。
一部分读者可能会萌生这样的问题，我还未触及：为什么我们应该接受数学家提出的公理呢？比方说，如果有人反对数学归纳法原理，我们应当怎样回应呢？大多数数学家会给出如下的答复。首先，所有理解了归纳法的人应该都认为它是显然合理的。其次，公理系统的主要问题并不是公理的真实性，而是公理的自洽性和有用性。数学证明实际上所做的正是要表明，由特定前提——如数学归纳法，能够得到特定的结论——如是无理数。这些前提假设是否正确则是与此完全无关的问题，我们可以安然地把它们留给哲学家。
黄金分割比的无理性
人们在学习高等数学时，走到一个证明的结尾处，通常会经历这样的思考：“我理解每一行是怎样由前一行得到的，但是我却不明白为什么这个定理是正确的，人们是怎样想到这个论证的。”我们经常想从证明中得到更多的东西，而不仅仅是确信它的正确性。读过一个好的证明之后，我们会感到它对定理进行了一番阐明，使我们理解了之前所不理解的一些东西。
由于人类大脑有很大一部分是用于处理视觉数据的，我们也就不难理解有很多论证都用到了我们的视觉能力。为了说明这一点，我将给出另一个关于无理性的证明，这一回是所谓的黄金分割比。几百年来，这个数一直使非数学家为之着迷（数学家也着迷，只是程度较轻）。它是具有如下特征的矩形的长宽比：
图10 黄金分割的存在性
从矩形中切掉一个正方形，剩下一个小矩形，它旋转之后恰与原始矩形的形状完全一样。图10中的第二个矩形正是这种情况。
为什么这样的边长比是存在的？（数学家已经被训练得惯于提出这类问题。）要回答它可以换一个角度，想象一个小矩形从正方形的一侧生长出来，使整个图形变成一个大矩形。刚开始的时候，小矩形很长很瘦，而大矩形仍然差不多是个正方形。如果我们让小矩形继续生长，直到它自己变成一个正方形，那大矩形的长就是宽的两倍。所以，小矩形最开始的时候比大矩形瘦得多，现在却比大矩形胖（相对于各自的尺寸来讲）。在这两者之间必存在一点，使得两个矩形形状相同。图10说明了这样的过程。
还可以用另一种方式来考虑黄金分割比的存在，那就是把它算出来。如果我们把它叫作x，并假设正方形的边长为1，那么大矩形的边长就是1和x，小矩形的边长是x-1和1。如果它们的形状相同，那么。两端同时乘以x-1，我们就得到x（x-1）=1，所以x2-x-1=0。求解这个二次方程，并且知道x不是负数，我们就得出。（如果你在数学上很有造诣，或者深入理解了上一章，你可能会问为什么我如此确信√5存在。实际上，这第二种论证正是要把几何问题归结于一个等价的代数问题。）
得出了比例x存在之后，让我们来考虑对边长为x和1的矩形进行如下的操作。首先，从中切掉一个正方形，由黄金分割比的定义，剩下的小矩形与原来的矩形形状相同。然后再不断地重复这一基本操作，得到一系列越来越小的矩形，每一个的形状都与之前的形状相同，因而长宽比都是黄金分割比。很显然，这一过程永远不会终止。（参见图11的第一个矩形。）
现在让我们对长宽比为p/q的矩形施行同样的操作，其中p和q都是整数。也就是说，这个矩形与边长为p和q的矩形形状相同，因而可以被分成p×q个小正方形，如图11中的第二个矩形所示。如果我们从这个矩形的一端切掉一些大正方形会怎么样呢？如果q小于p，那么我们切掉一个q×q的正方形，得到一个q×（p-q）的矩形。我们可以继续切掉下一个正方形，依此类推。这个过程会永远持续下去吗？不会。每次切掉的正方形都是小方格的整数倍，我们不可能操作多于p×q的次数——因为一开始就只有p×q个小方格。
我们表明了如下两个事实。
1. 如果矩形的边长比是黄金分割比，那么我们可以一直从中切掉正方形，没有尽头。
2. 如果矩形的边长比是某对整数p和q的比值p/q，那么就不能永不停止地从中切掉正方形。
于是我们可以得到，比值p/q不是黄金分割比，无论p和q取什么值。换言之，黄金分割比是无理数。
仔细思考上面这个证明，你最终会发觉，虽然乍看它和之前对是无理数的证明很不一样，但实际上也并无太大区别。不过，我们将它呈现出来的方式确实不同——而且对很多人来说，这种方式更有吸引力。
图11 从矩形中切掉正方形
圆的分割
既然我已经谈到了数学证明的本质，现在让我们回到本章开始时的问题。圆上有n个点，我们用直线将这些点两两连结起来，希望能够表明这些直线所分割出的区域总数是2n-1。对于n为1，2，3，4或5的情形，我们已经看出这是对的。为了一般性地证明这个陈述，我们很想找到一种令人信服的推理，能够说明边界上每增加一点区域总数就增加一倍。这样的推理会是什么样的呢？
脑子里无法立刻蹦出些什么来，那么我们可以通过观察被分割的圆的图形来着手，看看能否从中发现某种模式并提炼概括。例如，圆上有三个点，就产生了三个外围区域和一个中心区域。圆上有四个点，就有四个外围区域和四个中心区域。圆上有五个点，就有一个中心五边形，五个三角形从中心指向外围，五个三角形嵌入这个五角星之中，于是又形成一个五边形，最后还有五个外围区域。因此，我们可以把4看作3+1，把8看作4+4，把16看作5+5+5+1。
这能起到什么作用吗？我们似乎还没能掌握足够多的例子，看出清楚的模式，所以让我们再来画出圆上有六个点的情形。图12显示了这种情况。这一回外围有六块区域。每一块都与一个指向中心的三角形相邻。这样的区域两两之间，各夹着两个小三角形区域，至此共有6+6+12=24块区域，还需要继续数位于中心的六边形内包含的区域。里面分成了三个五边形，三个四边形，还有一个中心三角形。所以看起来很自然地，区域总数是6+6+12+3+3+1。
可是好像出了点什么错，因为结果是31。我们哪里疏忽了吗？事实上并没有：正确的序列开头几项是1，2，4，8，16，31，57，99，163。其实只要稍加深入思考，我们就能看出，区域总数不可能每次都翻倍。在刚开始时就有点麻烦，圆上0个点得到的区域总数是1而不是12，所以加上第一个点的时候区域总数就不是翻倍。尽管这种例外情形时常发生在0上，大多数数学家还是会认为这是个麻烦。但是，当n是个比较大的数时问题会更加严重，这时2n-1显然会特别大。比如当n=20时2n-1是524 288，当n=30时，结果是536 870 912。在圆的边上画30个点就会把圆分割成超过5亿个不同区域，这可能么？当然不可能。想象一下，在一块地上画一个大圆，在圆上打30个间隔不一的桩子，用很细的线把桩子两两相连。结果得到的区域数量确实比较大，但也不会大到难以想象的程度。如果圆的直径是10米，把它分成5亿块，平均每平方厘米里就会有超过600块区域。这个圆一定密密麻麻布满了线，但周围只有30个点，实际情况显然不是这样的。
图12 圆的分割
我前面说过，数学家对待“显然”这样的词非常慎重。但在这个例子中，我们的直觉能够以坚实的论证来支持，归结如下。如果圆被分割成数量巨大的多边形区域，这些区域之间必然有大量的顶角。每个顶角处都是两条线的交点，和这个交点相联系的桩子，也就是两条线在圆上的端点有4个。我们在圆上选取这样的4个桩子，第一个桩子有30种可能的选择，第二个有29种，第三个有28种，第四个有27种。这意味着，选取4个桩子的方式共有30×29×28×27=657 720种，但是这样就没有考虑到，如果以不同的顺序选取了同一组桩子，就重复列入了相同的交点。选出同一组4个桩子共有4×3×2×1=24种不同方式，考虑到这一点，我们就能够算出交点总数是657 720/24=27 405个，根本不可能像536 870 912块区域的顶角数量那样巨大。（实际上，30个点分割出的区域的真正数量是27 841。）
在这个让我们引以为戒的故事中，包含了很多与证明数学陈述相关的重要教训。最明显的一个就是，如果不去小心地证明你所说的话，那你就有说错的危险。一个更积极一点的寓意是，如果确实努力去证明一个陈述，那你将能以全然不同而且更有意思的方式理