牛津通识读本：数学（中文版） [5]
如果n是个正整数，那么an即表示n个a相乘的结果。如53=5×5×5=125以及25=2×2×2×2×2=32。但若以此作为定义，我们就不容易去解释23/2这样的表达式，因为你不可能拿出一个半的2，把它们乘在一起。那处理这种问题的抽象方法是什么呢？我们又一次地需要抛开寻找内在意义的意识。在本例中即需要忽视an的内在意义，转而考虑关于它的规则。
关于指数运算的两条基本规则是：
E1 对任意实数a，a1=a。
E2 对任意实数a和任意一对自然数m、n，有am+n=am×an。
例如，25=23×22，因为25表示2×2×2×2×2，而23×22表示（2×2×2）×（2×2），由乘法结合律可知两数相同。
从上述两条规则出发，我们可以迅速重新得到已经知道的一些事实。比如，根据E2即知a2=a1+1等于a1×a1；再根据E1，此即为a×a，正如我们所了解的。除此以外，我们现在还能够做更多的事情。让我们用x来表示23/2。那么x×x=23/2×23/2，由E2得知它就是23/2+3/2=23=8。也就是说x2=8。这并没有完全确定下x，因为8有两个平方根。所以我们通常会采取如下的准则。
E3 如果a＞0且b是实数，那么ab为正数。
再应用上E3，我们就发现23/2是8的正平方根。
这并不是对23/2的“真正值”的发现。但这也不是我们对表达式23/2的随意解读——如果我们希望保持规则E1、E2和E3，这就是唯一的可能性。
用类似的办法，我们可以对a0给出解释——至少当a不为0时。由E1和E2，我们知道a=a1=a1+0=a1×a0=a×a0。消去律M5指出，无论a取何值，都有a0=1。对于负指数，如果我们已经知道了ab的值，那么1=a0=ab+（-b）=ab×a-b，由此推出a-b=1/ab。例如，2-3/2就等于。
对数是另一个抽象地来看会变得更加容易的概念。关于对数，我在本书中要说的不多。但如果它确实困扰你，那么你可以消除顾虑，只要了解它们遵循如下三条规则就足以使你去应用对数了。（如果你希望对数是以e为底而不是以10为底的，只需要在L1中把10替换为e即可。）
L1 log（10）=1。
L2 log（xy）=log（x）+log（y）。
L3 若x＜y，则log（x）＜log（y）。
例如，要得到log（30）小于，可以应用L1和L2得出log（1000）=log（10）+log（100）=log（10）+log（10）+log（10）=3。而由L2得出2log（30）=log（30）+log（30）=log（900），又由L3得到log（900）＜log（1000）。因此2log（30）＜3，即得log（30）＜32。
在这本书的后面，我还将讨论许多类似性质的概念。试图具体地理解它们会让你感到困惑，但当你放轻松些，不再担心它们是什么并且应用抽象的方法，那这些概念的神秘性就消失了。
第三章 证明
图9中画出了五个圆，第一个圆上标出了一个点，第二个圆上标出了两个点，依此类推。连结这些圆上点的所有可能直线段都画了出来，这些线段将圆分割成若干区域。去数一数每个圆的区域数的话，会得到序列1，2，4，8，16。我们可以立刻辨别出这个序列：似乎圆上每添加一个新的点，区域个数就会加倍，因而n个点就分出了2n-1块区域——至少在没有三线共点的情况下。
图9 将圆分割成若干区域
然而，数学家很少会对“似乎”这样的用语感到满意。他们所需要的是证明，也就是能够扫清一条论断中所有疑点的论证。可是，这究竟是什么意思呢？尽管我们常常可以立论，在虑及所有情理之中的怀疑时认为论断正确；但如果要下结论说我们的论证扫清了一切的疑点，那我们必定要更上一层楼。历史学家能够给出许多例子来说明，一些论断一度被认为毋庸置疑，而后来却被证明是错误的，其中有一部分就是数学方面的论断。为什么当今数学中的定理与此会有所不同呢？我在下面将回答这一问题，给出几个证明的例子来，并从中概括出一些一般性的结论来。
根号2的无理性
我在上一章中说到，一个数如果可以写成分数p/q（其中p和q是整数）的形式则称为有理数，若不可以则称为无理数。数学中一条著名的证明表明了是无理数。这项证明阐释了反证法这种技术，即通过推出矛盾来证明。
这样的证明以假设要证的结论为假开始。这看似有点奇怪，但其实我们在日常对话中经常用到这一技巧。如果你去警局报案，声称目睹了一辆车被人故意破坏，别人指控你自己就是破坏者，那你很可能说：“如果是我干的，那我根本不可能以这种方式让自己成为目标。”你暂且采纳了你就是破坏者的（非真）假设，以此来说明这是多么荒唐。
我们要去证明是无理数，那就先假设它是有理数，再来表明这一假设会引出荒诞的结论。我在下面将按步骤写出证明，给出比较多的细节，很多读者也许并不需要这么多。
1. 如果是有理数，那么我们可以找到整数p和q使得=p/q（由“有理数”的定义）。
2. 任意分数都能够写成某个分数r/s，r和s不全是偶数。（分子分母连续除以2，直到至少有其中一个变成奇数。例如分数1412/1000等于706/500等于353/250。）
3. 因此，如果是有理数，我们就可以找到两个不全为偶数的整数r和s使得=r/s。
4. 如果=r/s，则2=r2/s2（等式两端平方）。
5. 如果2=r2/s2，则2s2=r2（等式两端乘以s2）。
6. 如果2s2=r2，则r2是偶数，即r必须是偶数。
7. 如果r是偶数，那么存在某个整数t使得r=2t（由“偶数”的定义）。
8. 如果2s2=r2且r=2t，则2s2=（2t）2=4t2，于是得到s2=2t2（两端除以2）。
9. 如果s2=2t2，那么s2是偶数，意味着s是偶数。
10. 按照是有理数的假设，我们已经表明=r/s，r和s不全是偶数（第3步）。我们之后又得到r是偶数（第6步），s是偶数（第9步）。这是一个明显的矛盾。因为是有理数的假设会推出明显错误的结论，所以这个假设本身必定是错误的。因此是无理数。
以上我尽可能使每一步推导都做到明显有理有据，从而使结论无可反驳。但是，我真的完全没有给怀疑留下余地吗？若有人愿意跟你打赌，如果找不到两个整数p和q使得p2=2q2就给你一万英镑，但如果找到了就处死你，那你愿意接受挑战吗？如果你愿意，又是否会有一点点的不安呢？
第6步中包含了r2是偶数则r必定是偶数的论断。这看起来相当明显（奇数乘以奇数是奇数），但如果我们要想使是无理数这一命题绝对确定无疑，或许可以再加强一些。让我们把它分解成五个子步骤：
6a. r是整数，r2是偶数。我们要表明r必定也是偶数。让我们假设r是奇数，然后寻求矛盾。
6b. 因为r是奇数，所以存在整数t使得r=2t+1。
6c. 于是推出r2=（2t+1）2=4t2+4t+1。
6d. 但是4t2+4t+1=2（2t2+2t）+1，这是奇数，与r2是偶数的事实矛盾。
6e. 因此r是偶数。
现在步骤6完全滴水不漏了吗？可能还没有，因为子步骤6b仍需要证明。毕竟，奇数的定义仅仅是非2的倍数的整数。为什么每个整数要么就是2的倍数，要么就比2的倍数多1呢？我们可以用以下论据来表明它。
6b1. 如果某个整数r是2的倍数，或者比2的倍数多1，我们就称它为一个好数。如果r是好数，则r=2s或r=2s+1，其中s也是整数。如果r=2s，则r+1=2s+1；如果r=2s+1，则r+1=2s+2=2（s+1）。不管是两种情况中的哪一种，都有r+1也是好数。
6b2. 1是好数，因为0=0×2是2的倍数，且1=0+1。
6b3. 重复利用6b1这一步，我们可以推出2是好数，然后3是好数，然后4是好数，等等等等。
6b4. 因此，所有正整数都是好数，这正是我们要证明的结论。
我们现在完成了吗？大概这一回最不牢靠的步骤要数6b4了，因为它是从前一步“等等等等”这样十分模糊的字眼中得到的。步骤6b3告诉我们怎样去表明任意给定的正整数n是好数。但麻烦在于，若按照上面的论证，我们需要从1一直数到n，如果n很大的话，这就要花很长时间。如果我们想要说明所有正整数都是好数，情况就更糟糕了，看起来这样的论证似乎永无结束之日。
但另一方面，鉴于步骤6b1到6b3实实在在、确切无疑地给我们提供了一种方法，能够说明任意的n都是好数（只要我们有时间），这一反对意见看起来就不合理。实际上它是如此不合理，以至于数学家们采纳了下述原则作为一条公理。
假设关于任意正整数n有一陈述s（n）。（在我们的例子中，s（n）即表示陈述“n是好数”。）如果s（1）为真，而且s（n）为真总蕴含s（n+1）为真，那么s（n）对任意n都为真。
这就是数学归纳法原理，熟悉它的人也简称它为归纳法。通俗地讲，它所说的其实就是，如果你有一列无穷多的陈述序列想要证明，那有一种办法：证明第一条为真，并且每一条都蕴含下一条。
上述几段内容说明了，数学论证中的每一步都可以分解成更小的，因而也更加清晰有据的子步骤。这些小步骤又可以进一步分解为子子步骤，等等。数学中有个根本性的重要事实，那就是这样的过程最终必然会终止。原则上，如果不断地将步骤分解为更小的步骤，你最终会得到一条非常长的论证，它以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则（例如“若A为真且A蕴含B，则B为真”）一步步推进，最终得到想要求证的结论。
上一段中我所说的远非显然：事实上，这正是20世纪早期的重要发现，很大程度上归功于弗雷格、罗素和怀特海（参见“延伸阅读”）。这一发现对数学产生了深远的影响，因为它意味着，任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的