牛津通识读本：数学（中文版） [4]
负数和分数
谁如果曾经给小孩子教过数学，那一定会知道，减法和除法并不像加法和乘法那样直接，他们学习起来更困难一些。为了解释减法，我们当然可以利用“拿走”的概念，提这一类的问题：“一开始有5个橘子，吃掉2个，还剩下几个？”然而这并不总是思考减法的最佳方式。例如，当我们用100减98时，更好的想法不是从100中取走98，而是考虑什么数加上98能够得到100。也就是说，更有效的做法是求解方程98+x=100，尽管计算时字母x并不常出现在我们的脑子里。类似地，考虑除法也有两种方式。为了解释50除以10的意义，我们既可以问“50个东西分成相等的10组，每组几个”，也可以问“10个东西分一组，50个东西能分几组”。第二种办法等于在问“10和几相乘能够得到50”，也就等于解方程10x=50。
向小孩解释减法和除法还有着更进一步的困难，那就是这两种计算并非总能够进行。例如，不可能从装有7只橘子的碗中拿走10只，11颗弹珠不可能平均分给3个小孩。但成人却能够计算7减去10和11除以3，分别得到-3和11/3。问题随之而来：-3和11/3这样的数实际上存在吗？如果存在它们又是什么呢？
从抽象的角度看，处理这个问题的方式类似于之前对于零的处理方式：全都抛至脑后。关于-3，我们只需要知道它和3相加等于0即可；关于11/3，只需知道它乘以3等于11即可。这就是它们的运算规则。再与之前的规则相结合，我们就可以在更大的数系中进行算术运算。为什么我们希望照这样扩充数系呢？原因就是，这样得到的模型允许我们在其中求解x+a=b和ax=b这样的方程，无论a和b取何值——只要a在第二个方程中不为0。换句话说，这样得到的模型中，减法和除法总是能够进行的，只要除数不为0。（除数为0的问题我们会在本章稍后谈到。）
按照这样的路数，我们只需再增加两条规则来扩充我们的数系：一条给我们带来负数，另一条给我们带来分数，即我们所熟知的有理数。
A4 加法逆元：对任意数a，总存在一个数b使得a+b=0。
M4 乘法逆元：对任意不为0的数a，总存在一个数c使得 ac=1。
确定了这些规则后，我们就可以将-a和1/a分别看作A4中的b、M4中的c的代号。至于更一般的表达式p q，它表示p乘以1q。
规则A4和M4还蕴含了另外两条规则，即消去法则。
A5 加法消去律：对任意三个数a、b和c，若a+b=a+c，则b=c。
M5 乘法消去律：对任意三个数a、b和c，若ab=ac且a不为0，则b=c。
第一条可以通过在等式两端加上-a得到证明，第二条可以通过在等式两端乘以1/a得到证明。应当注意A5和M5的地位与之前的那些规则是不同的——这两条是之前规则的推论，而不是我们向游戏中引入的新规则。
如果有人要加两个分数，如2/5加3/7，那么常用的方法是找出它们的公分母：
这种方法及类似方法的合理性可以用我们的新规则来证明。例如：
又有
于是，由规则M5得到2/5和14/35是相等的，正如我们在计算中所假设的那样。
类似地，我们还可以论证关于负数的一些熟悉的事实。请读者自己练习从上述规则中推出（-1）×（-1）=1，它的推导和对0×0=0的证明相当类似。
为什么在很多人看来，负数的实在性要低于正数呢？大概因为对数量不多的物体的计数是人类的基本活动，在这其中并不会用到负数。但这只不过意味着，作为模型的自然数系在某种特定场合下比较有用，而扩充数系则不太用得上。但如果我们考虑温度、日期或者银行账户，那负数就的确能够发挥作用了。只要扩充数系是逻辑自洽的——实际上也正是如此，用它作为模型就没有任何害处。
把自然数系称作一种模型似乎有点奇怪。难道我们不是在切实地数数，未涉及任何特定的理想化描述吗？我们的确是那样数数的，但数数的过程并非总是恰当的，甚至会根本不可能。从数学的观点来看，1 394 840 275 936 498 649 234 987这个数没有任何问题，但如果我们连佛罗里达州的选票都数不过来，就无法想象能确信自己拥有由1 394 840 275 936 498 649 234 987个东西组成的一堆。如果你将两堆落叶加到第三堆上，得到的结果并不是三堆树叶，而是一大堆树叶。倘若你刚观察过一场暴雨，那正如维特根斯坦所说，“‘你看到了多少水滴’这个问题的恰当答案是，很多。并不是因为没有那么一个数字，而是因为你根本不知道有多少”。
实数和复数
实数系包含了所有能够用十进制无穷小数表示的数字。这个概念看似简单，实则不易，其中的缘由我们会在第四章加以解释。而现在，让我们来讨论一下将有理数系扩充到实数系的原因。我要讲的是，这原因正与引入负数和分数的理由类似：它们使我们能够求解某些方程，缺少它们我们则无法求解。
这些方程中最著名的一个莫过于x2=2。在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派发现是无理数，即它不能表示为一个分数。（我们将在下一章中给出证明。）当时这项发现激起了一片错愕，但时至今日我们已经能够欣然接受：要想将正方形对角线的长度之类的事物模型化，就必须扩充我们的数系。抽象方法再一次使我们的任务变得轻易。我们引入一种新的符号——，并引入一条说明它能够做什么的新规则：它的平方等于2。
如果你对此颇有研究，你可能会反对我刚才说的，理由是，这样的规则并不能区分和。处理这个问题的办法之一就是向我们的数系中引入一个新的概念——序。比较数和数之间的大小总是有用处的，而且这还能使我们通过的额外的性质——大于0——来识别它。不过即便没有这种性质，我们也已经能够做一些运算，例如：
而且，不区分和其实是有一点好处的——上面的计算对这两个数都是成立的。
从用来描述数系每次扩充所得到的新数的名字，我们能够发现在历史上对抽象方法质疑的一些痕迹，比如“负的”和“无理的”。但更让人难以下咽的还在后面，这就是“虚幻的”，或者“复杂的”数，即形如a+bi的数，其中a和b均为实数，i是-1的平方根。
从具象的观点来看，我们会很快就摈弃-1的平方根：因为任何数的平方都是正的，-1根本就没有平方根，故事到此为止。然而，若采纳了抽象的观点，这种反对意见就显得软弱无力了。只要引入方程x2=-1的解并把它称作i就好了，为什么不继续单纯地把数系扩充下去呢？为什么偏偏它的引入就应该比之前的更值得反对呢？
一种回答大概是，能够按十进制小数展开，（原则上）能够计算到任意精度，而i就与此不同了。但这说的只不过是我们已经知道的事情，即i不是实数——正如不是有理数一样。这并不能阻挡我们扩充数系，在其中进行如下的运算：
i和之间最主要的区别就是我们被迫抽象地去思考i，而对于我们则还有备选方案，可以将它具体地表示为1.4142…，或者看作单位正方形的对角线长度。要看出为什么i没有这样的表示方法，不妨问问自己这个问题：-1的两个平方根中，哪个是i哪个是-i呢？这个问题是没有意义的，因为我们对i所定义的唯一的性质就是平方等于-1。既然-i也有同样的性质，那么关于i成立的那些命题，如替换为关于-i的相应命题，必定依然成立。一旦领会了这一点，就很难再赞同i指示一个独立存在的实在的客体。
这和一个著名的哲学难题有相似之处。你对红色所产生的感受与我对绿色产生的感受（交换亦可）有没有可能是相同的呢？一些哲学家很严肃地思考这个问题，并定义“感受性”一词来表示我们所拥有的绝对的内在体验，比如我们对色彩的体验。而另一些人并不相信感受性。在他们看来，“绿色”这样的词有更抽象的定义，那就是根据它在语言系统中所发挥的作用，也就是说，根据它与“草地”、“红色”等概念之间的关系。因此，就这个论题，要想从人们谈论色彩的方式来推断出他们的态度是不可能的，除非在哲学争论当中。类似地，在实践中，关于数和其他数学对象，重要的只是它们所遵循的规则。
如果说为了使方程x2=-1有解我们引入i，那么其他类似的方程呢？比如x4=-3或者2x6+3x+17=0呢？值得注意的是，人们发现，所有这样的方程都可以在复数系中求解。也就是说，我们通过接受i作出小小的投资，结果得到了许多倍的回报。发现这个事实的历史过程有点复杂，但人们通常将它归功于高斯。这个事实被人们称为代数基本定理，它给我们提供了令人折服的证据，使我们相信i的确有合情合理、自然而然的地方。我们的确无法想象一个篮子里有i只苹果，车行途中经过了i个小时，银行账户透支了i英镑。但对数学家来说，复数系已经必不可少。对科学家和工程师同样也是。比如，量子力学的理论就高度依赖于复数。复数作为最佳的例证之一，向我们表明了一条概括性原则：一种抽象的数学构造若是充分自然的，则基本上必能作为模型找到它的用途。
初探无穷大
一旦我们学会抽象地思考，事情就会立刻变得令人愉悦，这个境况有点像突然能够骑自行车而不必去担心保持平衡。然而，我也并不希望使读者觉得抽象方法就好像是印钞许可证。我们可以来作一个有趣的对比，比较一下向数系中引入i与引入数字无穷大之间的区别。乍看起来，似乎没什么可以阻止我们的：无穷大应当用来表示1除以0之类的，所以，为什么不使∞成为一个抽象符号，用它来表示方程0x=1的解呢？
但当我们想做算术时，这个想法的问题立刻就来了。我们在这里举个例子，利用乘法结合律M2和0×2=0的事实，就可以得到简单推论：
1=∞×0=∞×（0×2）=（∞×0）×2=1×2=2
这个式子表明，方程0x=1的解若存在将会导致不相容性。这是否意味着无穷大不存在呢？并不是。这只说明，无穷大的自然概念与算术定律是不相容的。扩充数系以将符号∞包含进来，并且接受在新的系统下这些算术定律并非总是成立，这样做有时是有用处的。但是通常，人们还是希望保持算术定律，不考虑无穷大。
把负数和分数放到指数上
抽象方法还有一点极大的优越性：它使我们能够将熟悉的概念扩展到不熟悉的情况下，赋予其新的