牛津通识读本：数学（中文版） [3]
A.W.莫尔评论杰罗尔德·J.卡茨《现实理性主义》，
《泰晤士报文学增刊》，1998年9月11日
对于这个论证，我们可以从许多角度来批评，而且基本上不可能有人把它当真，包括评论人自己。然而，确实有哲学家在严肃地思考数是否存在这样的问题，而且正是这种思考使得他们不同于数学家——数学家理所当然地认为数就是存在的，不理解它何以能够成为一个问题。本章的主要目的就是要解释，为什么数学家能够愉快地忽视这样一个看似非常基本的问题，甚至理应忽视它。
如果我们把同样的论证方法搬到国际象棋上来，这个“简简单单朴实无华”的关于数的存在的论证就明显荒谬了。已知象棋中的黑色国王有时可以斜向移动一格，由此得出，存在着可以斜向移动一格的棋子。但接下来将进而得出：国际象棋的棋子是存在的。当然了，我想说的并不是那句平平常常的断言：人们有时候会制造国际象棋的棋具。毕竟，没有棋具同样也能下棋。我所指的是一个更加“惊人”的哲学结论：象棋棋子的存在独立于它们的物理形态。
在象棋中，黑色国王是什么呢？这是个奇怪的问题。最令人满意的处理方式似乎是，回避这个问题。除了指着棋盘，说明游戏的规则，我们还能做些什么呢？也许在这么做的同时会对黑色国王给予特别的关注？真正重要的问题并不是黑色国王的存在性或者它的本质属性，而是它在游戏中所发挥的作用。
人们所谓的数学中的抽象方法，正是我们采取类似态度来对待数学对象的结果。这种态度能够用这样一句话涵盖：数学对象是其所做。在语言哲学中，我们能发现类似的话经常出现，而且可能饱受争议。我们可以举出两个例子，比如索绪尔所说的“语言中只有差异”，还有维特根斯坦所说的“语词的意义是它在语言中的用法”（参见书末“延伸阅读”）。另外，我们还可以加上逻辑实证主义者的宣言：“陈述的意义就是其证实的方法。”如果你出于哲学方面的考虑，认为我的观点令人生厌，那你不妨不要将它看作一个教条式的断言，而是视为一种可供采纳的态度。实际上，我希望表明的是，要想正确地理解更高等的数学，采纳这种态度是至关重要的。
没有棋子的象棋
看出这一点很有意思——尽管我的论述并不直接依赖于它：象棋，或者任何类似的游戏，都可以以图为模型。（图已经在前一章末定义过了。）图的顶点代表游戏的某种可能的局面。如果两个顶点P和Q有边相连，那就意味着可以从局面P出发，经过合乎规则的一步之后达到局面Q。因为有可能无法从Q返回到P，所以这样的边需要用箭头来指示方向。某些顶点可以看作白棋获胜，还有某些顶点可以看作黑棋获胜。游戏从一个特定顶点，即游戏的开始局面出发。两位棋手相继沿着边移动。第一位棋手努力要走到白棋获胜的某个顶点，第二位棋手则要走到黑棋获胜的顶点。图6显示了某种大大简化的类似游戏。（图中不难看到，对于这个游戏来说白棋有必胜策略。）
尽管象棋的这种图论模型很难有应用上的意义，因为现实中可能的局面数量实在太庞大了，但是就其所表示的游戏和象棋完全等价来说，它仍然是一种完美的模型。不过在定义它的时候，我完全没有提及关于棋子的任何事情。从这个角度来看，黑色国王是否存在的问题就是个离奇的问题了：棋盘和棋子只不过是方便我们将这么大的图中一团乱麻似的顶点和边组织起来的一种原则而已。如果我们说出“黑色国王被将军了”这样的句子，那么这只是一种简化的说法，它所指的无非是两位棋手到达了极多的顶点中的某一个。
图6 白先，白方有必胜策略
自然数
“自然”是数学家对我们所熟悉的1，2，3，4这样的数字所赋予的称呼。自然数是最基本的数学对象，但它们似乎并没有引导我们去抽象地思考。毕竟，单单一个数字5能做些什么呢？它不可能像个棋子一样走来走去。它所具有的似乎是一种内在的属性——某种纯粹的“五性”，当我们观察图7这样的图片时就能立即从中提炼出这样的性质。
然而，当我们考虑更大的数时，其中的纯粹性就变少了。图8向我们表示了7，12和47这几个数。可能有部分人能够立刻把握第一张图中的“七性”，但大多数人可能会在一瞬间有这样的思考：“外围的点形成了一个六边形，再加上中心的一个得到6+1=7。”类似地，12可能会被考虑为3×4或2×6。至于47，和别的数字比起来，比方和46相比，一组这个数量的物体就缺乏特别之处。如果这组物体以某种模式排列起来，例如排成少两个点的7×7的阵列，那么我们的知识就可以通过7×7-2=49-2=47迅速地得出总数一共有多少。如若不然，我们就只能去一个个地数，这时我们则是将47视为46之后的那个数，而46又是45之后的那个数，依此类推。
图7 “五性”的概念
也就是说，当数字变得还不算太大时，我们就已经不再将其视作一些独立的客体了，而开始通过它们的内在属性，它们与其他数字的关联，以及它们在数系中的作用来理解。这也就是我之前说数能“做”什么所要表达的意思。
图8 表示7，12和47（两种）的方式
如我们已经清楚地看到的，数的概念与加法、乘法这样的算术运算紧密相连。比方说，如果没有算术的概念，对1000000017这样的数的意义就只能有很模糊的把握。一个数系并不仅仅是一堆数字，而是由数字及算术规则共同构成的。我们还可以这样来总结这种抽象方法：考虑规则，而不是考虑数字本身。按这种观点，数字就可以被当作某种游戏中的记号（或许应该被称为计数子）。
为了对其中的规则有一些了解，让我们来考察一个简单的算术问题：如果我们要确证38×263=9994，应当做什么？多数人可能会用计算器来检查，但要是因故无法这样检查呢？他们可能会作如下的推理。
38×263=30×263+8×263
=30×200+30×60+30×3+8×200+8×60+8×3
=6000+1800+90+1600+480+24
=9400+570+24
=9994
为什么上述几步看起来是如此地天经地义呢？比方说，为什么我们会不假思索地相信30×200=6000？30的定义是3×10，200的定义是2×（10×10），所以我们可以充分相信30×200=（3×10）×（2×（10×10））。但为什么是6000呢？
一般没人会去问这种问题，不过既然有人问了，我们可能会说：
（3×10）×（2×（10×10））=（3×2）×（10×10×10）= 6×1000=6000
我们并没有经过仔细考虑就利用了关于乘法的两个熟知事实：其一，两数相乘时谁先谁后并没有关系；其二，多个数相乘时无论怎样加括号都没有区别。例如，7×8=8×7以及（31×34）×35=31×（34×35）。第二个例子中，中间结果肯定会受到括号位置的影响，但我们知道最终结果是相同的。
这两条规则被称为乘法的交换律和结合律。下面我将列出若干条加法和乘法中常用的规则，也包括上述两条。
A1 加法交换律：对任意两个数a和b，有a+b=b+a。
A2 加法结合律：对任意三个数a、b和c，有a+（b+c）=（a+b）+c。
M1 乘法交换律：对任意两个数a和b，有ab=ba。
M2 乘法结合律：对任意三个数a、b和c，有a（bc）=（ab）c。
M3 1是乘法单位元：对任意数a，有1a=a。
D 分配律：对任意三个数a、b和c，有（a+b）c=ac+bc。
我列出这些规则并非试图告诉你这些规则本身多么有意思，而是想请你关注它们在我们的思考中所扮演的角色——即便是在相当简单的数学陈述中。我们对3×2=6的信心大概是基于这样的一种图像：
这样一来，要直接论证38×263=9994就是不可能的了，于是我们要以完全不同的方式来思考这一稍显复杂的事实，其中就要利用到交换律、结合律和分配律。如果的确遵守了这些规则，我们就会相信最后的结果。而且，虽然绝不可能对9994个物体有视觉上的感知，我们也相信结果是正确的。
零
在历史上，数字0的思想的诞生晚于正整数。这在很多人看来是个神秘而且矛盾的概念，它引发了类似这样的问题：“某种事物既然没有，怎么可能存在呢？”但从抽象的观点来看，0其实很明确：它只不过是引入到我们数系中的一个新记号而已，并且满足下面这条特殊的性质。
A3 0是加法单位元：对任意数a，有0+a=a。
这就是关于0你所需要知道的一切了。无关它意味着什么，只是一条小规则告诉你它做什么。
那关于数字0的其他性质呢，比方说0乘以任何数都等于0的性质？我并没有列出这条规则，因为我们可以从性质A3及之前的其他规则把它推导出来。例如，我们已经将2定义为1+1，那要怎样来表明0×2=0呢？首先，根据规则M1有0×2=2×0。然后，由规则D得到（1+1）×0=1×0+1×0。但根据规则M3，1×0=0，所以该式等于0+0。规则A3意味着0+0=0，于是我们的论证就完成了。
从非抽象的角度出发，可能会这样去论证：0×2的意思是指，总共0个2相加，没有2，就是0。但用这种思考方式，我们将不太容易回答诸如我儿子约翰问我的这个问题（在他六岁时）：既然无和无相乘的意思是没有无，那为什么结果又会是无呢？尽管当时可能不太适合，但一个好的回答终归是，它能够如下所述从基本规则中推导出来。（每一步之后我都列出了所用到的规则。）
为什么我要对非常基本的事实给出如此冗长的证明呢？和上面一样，原因并不是我觉得这些证明多么有数学趣味，而是想表明，抽象地（利用几条简单规则，忽略数字的具体意义）而非具体地（考察数学陈述的实际意义）证明算术陈述是怎么一回事。将实际意义及思维图像与数学对象结合起来固然非常有用，但是，正如我们将多次在本书中看到的，这样的结合常常并不足以告诉我们在新的不熟悉的场合下应当怎样去处理。因而，抽象的方法是不可或