牛津通识读本：数学（中文版） [2]
如果盒中只有一个分子，那么规则可以很明显：分子以恒定速度运动，撞到盒子壁面时就反弹出去。要将这种模型推广到包含N个分子的情形（N是个较大的数），最简单的办法就是假设分子都遵从这样的运动规则，分子之间绝对没有相互作用。为了启动这样的N分子模型，我们要选择分子（或者说，表示它们的那些点）的初始位置及初始速度。随机选择是一种好办法，因为我们可以预期，在任意时刻，真实气体中的分子都在空间中弥散着，运动方向也各式各样。
图3 气体的二维模型
要说清在立方体中随机取一个点并不困难，随机的运动方向也不复杂，但如何随机地选择速率就有些含混了，因为速率可以取从0到无穷大的任意值。为了避免这个困难，我们可以作一个从物理角度看似不太可信的假设，让所有分子的速度大小都相同，仅仅让初始位置和方向能够随机选取。图3就表示了这个模型的一个二维情形。
N个分子完全相互独立运动的假设毫无疑问是过度简化的。比方说，利用这个模型，我们就不可能理解，为什么当温度足够低时气体会液化：当你把模型中的各点运动速率降低，得到的还是相同的模型，无非跑得慢一些而已。不过这个模型还是能够解释真实气体的许多行为。例如，想象盒子被慢慢压缩的情形。分子仍然会继续以相同速率运动，但由于盒子变小，分子撞击壁面更加频繁，可供撞击的壁面面积也变小了。由于这两个缘故，单位面积的壁面每秒钟被撞击次数就增多了。这些撞击正是气体压强的来源，于是我们可以总结出，气体体积减小时，气体压强很可能增大——正如实际观测所证实的那样。类似的论证还可以解释，为什么气体温度升高而体积不变时，压强会增大。要推算出压强、温度与体积之间的数值关系也并不困难。
上述模型大致上就是伯努利所提出的模型。麦克斯韦的成就之一就是发现了一个优美的理论，来解决如何更逼真地选择初始速率的问题。为了理解这一点，让我们放弃分子间没有相互作用的假设。作为替代，我们假定分子会时不时地相互碰撞，就像台球一样。碰撞之后，它们就以另外的速率、向另外的方向，在遵守能量守恒和动量守恒定律的前提下随机弹开。当然，既然我们用没有体积的点来表示分子，那么就很难看出它们要如何碰撞。不过，这个麻烦在理论中恰可以作为一个非正式的论据，说明分子运动速度及方向具有某种随机性。麦克斯韦就这种随机性的本质作了两个非常合理的假定：其一，分子运动的随机性不随时间而改变；其二，这个随机性在不同方向上没有区别。大体来讲，第二条假设意味着，选取d1和d2两个方向及某个速率s，那么粒子以速率s沿着d1方向运动的概率和以速率s沿着d2方向运动的概率是相同的。不可思议的是，这样的两个假设就足以恰好决定分子运动速度的分布形式，即意味着，如果我们想要随机选取速度，就只有一种自然的方式。（它们应当服从正态分布。这种分布产生了著名的“钟形曲线”。这种曲线在各种各样的场合下经常出现，既出现在数学中也出现在实验中。）
一旦选定了速度，我们就可以再次忘掉分子间的相互作用。结果表明，这种作了一点改进的模型依然存在着原始模型中的许多瑕疵。为了进一步修正，我们只能再把分子间的相互作用考虑进来。但是结果发现，即使是非常简单的相互作用粒子模型，其行为也极其复杂，会引发极为难解，事实上多数都未能解决的数学问题。
大脑和计算机的模型化
计算机同样也可以看作由相互作用的各部分集合而成；很大程度上由于这个原因，理论计算机科学中同样有很多悬而未决的重要问题。其中有如下这样一个例子，我们可能愿意去尝试解答。假设某人选取了两个素数p和q，将它们相乘后的结果pq告诉你。你只要逐个取素数，看看它是否能够整除pq，即可以找出p和q。例如，给出91，你很快就能发现它不是2，3，5的倍数，继而发现它恰好等于7×13。
然而，当p和q非常大时——比方说都是200位的素数，那么这一试错过程会耗时极长，即使借助于强力计算机也是如此。（如果你想要体会一下这种困难，不妨尝试找出6901的两个素因子，以及280 123的。）可另一方面，似乎也不难感觉到，说不定这个问题存在着更聪明的解决办法，基于它就可以编制出一种快速运转的计算机程序。如果能找到这种好办法，我们就能破解作为大部分现代安全系统之基石的密码，包括在互联网上以及其他各处——破解这些密码的难点就在大整数的因子分解。反之，如果能够表明由pq计算出p和q的这种快速有效的方法不存在的话，我们则能够安心。不幸的是，虽然计算机总在不断地让我们惊叹它的各种能力，对于它们做不了的，我们却几乎毫无了解。
在思考这个问题之前，我们必须找到一种方法来数学化地表示计算机，并且要尽可能简单。图4所显示的就是一种极好的方法。它包含许多层节点，连结点和点之间的线段称作“边”。进入到最顶层的称作“输入”，这是一条0和1的序列，从最底层出来的叫作“输出”，是另一条0和1的序列。节点分为三种，分别称作“与门”、“或门”和“非门”。每一个门都从连结上层的边中接收到一些0和1。它再根据所接收到的数码来自己发出一些0和1，所遵循的简单规则如下：与门当接收到的输入全部为1时，输出1，否则输出0；或门当接收到的输入全部为0时，输出0，否则输出1；非门只允许一条边连结上层，它在接收到1时输出0，接收到0时输出1。
一系列门由边连接起来就称作一条电路，我上面所描述的模型正是关于计算的电路模型。使用“计算”一词是恰如其分的，因为我们可以把电路看作这样一种装置，它拥有一条0和1的序列，继而按某些预定规则将其变换为另一条序列，如果电路很大，变换规则可能会很复杂。这也正是计算机所进行的工作，只不过它们能够把这些序列翻译成我们能够理解的格式，诸如高级程序设计语言、视窗系统、图标等等。实际上，存在一种比较简单的办法（仅从理论的角度而言——在实践上操作将是个噩梦），能将任意计算机程序转换为一条按完全相同的规则变换01序列的电路。而且，计算机程序的重要特征恰在其对应电路中有着非常类似的对照物。
图4 一个简单的计算机程序
具体而言，电路中的节点数量正对应于计算机程序运转所花费的时间。因此，如果我们能够表明，按某种方式来变换01序列需要庞大的电路，那么也就说明这种变换方式所需要的计算机程序运转时间很长。我们使用电路模型而非直接分析计算机，其优势就在于，从数学的角度来看电路更简单也更自然，考虑起来更容易一些。
对电路模型进行一点小小的修改，我们就能得到大脑的一种有用的模型。这种模型不再使用01序列，而是使用0和1之间的任意值来表示强度各异的信号。所有的门，即对应于神经元或者脑细胞，也有所不同，但其行为还是很简单的。每个门从其他的门接收到一些信号，如果这些信号的总强度——对应数字的总和——足够大，门就在某个特定的强度水平上输出它自己的信号，否则不输出。这对应于神经元所作的是否“激发”的决策。
似乎很难相信这个模型能够捕捉大脑全部的复杂性，但这部分缘于我并没有提到应当有多少个门以及如何安排这些门。一个典型的人类大脑包含大约1000亿个神经元，它们以非常复杂的方式排列着；以我们当前对大脑的认识，还不可能谈及太多——至少在精微的细节方面不可能说清。不过，上述模型提供了一种有益的理论框架，供我们思考大脑可能是如何工作的，也使我们能够模拟某些类似于大脑运行的行为。
地图染色与时间表制定
设想你正在绘制一幅地图，地图上分成了若干区域，你希望为这些区域选取颜色。你可能想选用尽可能少的颜色，但同时还希望避免任意两块相邻区域使用相同的颜色。再设想你正在安排大学课程的时间表。课程有很多门，但可供安排的总时间段有限，所以会有某些门课程时间冲突。哪些学生选了哪些课程已经登记在列，你希望尽可能合理安排，仅当两门课程没有学生同时选择时才可以时间冲突。
这两个问题看似截然不同，但一种合理的模型能够说明，从数学的观点来看它们其实是一样的。在这两个问题中，都需要给一些对象（国家、课程）赋予一些属性（颜色、时间）。对象中有某些两两组合（相邻的国家，不能冲突的课程）是不能相容的，也就是说它们不能被赋予相同的属性。在这两个问题中，我们其实并不关心具体的对象是什么、要赋予的属性是什么，所以我们也可以仅用点来表示它们。为了表示那些不相容的成对的点，我们可以将它们用线段连结起来。这样一组边和边连结起来的点的集合，就是“图”这种数学结构。图5给出了一个简单的例子。通常称图中的点为顶点，称线段为边。
图5 10个顶点和15条边组成的图
一旦我们将问题用这种形式表示出来，我们在两个例子中的任务就统一为：将顶点分成尽可能少的几组，使得每组中不包含由同一条边相连的两顶点。（图5所表示的图可以分成三组，但不可能分成两组。）这也就说明了使模型尽可能简化的另一个充足理由：如果幸运的话，同样的模型可以用来一次性研究很多不同的现象。
“抽象”一词的不同含义
在设计模型的时候，我们会忽视所考察的现象中尽可能多的信息，从中仅仅抽象出那些对理解其行为必不可少的特征。在上述我所讨论的例子中，石头被简化为一个点，一国的全部人口被简化为一个数，大脑被简化为遵循一些简单数学规则的门的网络，分子间相互作用被简化到根本不存在。结果得到的数学结构就是具体情形在模型化之后的抽象表示。
我们说数学是一个抽象的领域，这包含两层含义：一来它从问题中抽象出重要特征，二来它所处理的对象不是具体的、有形的。在下一章，我们将讨论数学抽象的第三层，也是更深层的含义，前面的例子其实已经让我们对此有所了解。图是一种具有可塑性的模型，可以用在多种场合。但当我们研究图时，完全不需要考虑它的这些具体用途：点究竟表示地区、课程还是别的完全不同的东西，这并不重要。研究图的理论工作者可以完全抛弃现实世界，进入到纯粹抽象的王国之中。
第二章 数与抽象
抽象方法
几年前，《泰晤士报文学增刊》的一篇评论在开篇写到：
已知0×0=0以及1×1=1，就可以得