牛津通识读本：数学（中文版） [10]
图21 笛卡尔平面上的三点
现在让我们稍微改变一下视角。我们不再将这两个数（或三个）称作点在空间中的坐标；让我们说，这些数就是点。也就是说，我们不再说“坐标为（5，3）的点”，让我们说“（5，3）这个点”。有人可能把这仅当作语言上的便利，但它实际上有更深的意义。它在用空间的数学模型取代实在的、物理的空间。我们的二维空间数学模型是由成对的实数（a，b）所组成的。尽管这些成对的数本身并不是空间中的点，我们也称它们为点，因为我们希望提醒自己，这正是它们所表示的东西。类似地，我们可以取所有的实数三元组（a，b，c）得到三维空间的模型，并把这些三元组称为点。现在我们就有了定义诸如八维空间中点的很明显的方法。它们只不过是实数八元组。例如，这就是两个点：（1，3，-1，4，0，0，6，7）和（5，π，-3/2，，17，89.93，-12+1）。
我现在已经定义了一种初步的数学模型，但它还不值得被称作八维空间的模型，因为“空间”一词包含着很多几何含义，我还没有用模型来描述它们：空间不仅仅只是大量单个点的堆砌而已。例如，我们会谈论一对点之间的距离，会谈论直线、圆及其他几何形状。这些思想在高维空间中的对应物是什么呢？
回答这类问题，有一个通用的方法。找出一个二维或三维中熟悉的概念，首先完全用坐标的语言来描述它，然后就能预期，它向高维空间中的拓展变得很显然。让我们看看这个方法是怎么处理距离这一概念的。
给定平面上两点，如（1，4）和（5，7），我们可以按如下方法计算它们的距离。首先按图22所示画一个直角三角形，其另一个顶点位于（5，4）。我们注意到，连结（1，4）和（5，7）的线段是这个三角形的斜边，这意味着可以用毕达哥拉斯定理来计算出它的长度。另两条边的长度为5-1=4和7-4=3，所以斜边的长度是。因此两点之间的距离为5。将这种方法应用到一般的一对点（a，b）和（c，d）上，我们得到一个直角三角形，其斜边端点正是这两个点，另两条边的长度为|c-a|（这表示c和a之间的差距）和|d-b|。毕达哥拉斯定理告诉我们，两点间的距离由下式给出：
类似的方法在三维中也有效，只不过稍微复杂一点，可以得出（a，b，c）和（d，e，f）两点间的距离是：
换言之，要计算两点间的距离，你需要将对应坐标差的平方相加，然后求平方根。（简要地说，理由如下：以（a，b，c）、（a，b，f）和（d，e，f）为顶点的三角形T，在点（a，b，f）处是个直角。（a，b，c）到（a，b，f）的距离是|f-c|，而由二维公式，（a，b，f）到（d，e，f）的距离是。在T内应用毕达哥拉斯定理，就能得到结果。）
图22 用毕达哥拉斯定理计算距离
这条陈述有个有意思的特征：它没有提到假设点在三维空间中这个事实。因此我们凑巧发现了计算任意维空间中距离的方法。例如，（1，0，-1，4，2）和（3，1，1，1，-1）（五维空间中）这两点间的距离是：
这种处理方式有一点误导作用，它暗示着任意一对五维空间中的点之间总是有一个距离（要记住，五维空间中的点只不过意味着五个实数而已），而我们发现了怎样把这个距离计算出来。但实际上，我们所做的是定义距离的概念。没有什么物理实在强迫我们必须要按上述方法计算五维空间的距离。但另一方面，这种方法很明显，就是我们在二维和三维空间所用方法的自然拓展，若要采用别的定义则会显得很奇怪。
一旦定义了距离，我们就可以开始扩展其他概念。例如，球面显然就是圆在三维空间中的等价物。那四维空间中的“球面”会是什么呢？和距离一样，如果我们把二维和三维版本的概念用一种不提及维数的方法描述出来，就可以回答这个问题了。这其实根本不难：圆和球面都可以通过到定点（圆心或球心）固定距离（半径）的所有点的集合来描述。在此方面，我们完全可以把相同的定义用于四维中的球面，甚至八十七维中的球面。例如，四维空间中以（1，1，0，0）为定点以3为半径的球面，正是所有到（1，1，0，0）的距离为3的（四维的）点所组成的集合。四维空间中的点就是四个实数（a，b，c，d）。它到（1，1，0，0）的距离是（根据我们之前的定义）：
因此，描述这个四维球面的另一种方式是：它是满足如下条件的所有四元组（a，b，c，d）的集合。
例如，（1，-1，2，1）就是这样的一个四元组，因此它是这个四维球面上的一点。
另一个可以扩展的概念是二维中的正方形和三维中的立方体。如图23所示，满足a、b均在0和1之间的所有点（a，b）的集合就形成了边长为1的正方形，它的四个顶点是：（0，0），（0，1），（1，0）和（1，1）。在三维中，我们可以取满足a、b、c均在0和1之间的所有点（a，b，c）的集合，以此来定义一个立方体。它的八个顶点是：（0，0，0），（0，0，1），（0，1，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0）和（0，0，0）（1，1，1）。显然我们可以在高维空间中采用类似的定义。比如，我们可以通过取各个坐标均在0和1之间的所有点（a，b，c，d，e，f）的集合，以此得到六维立方体，或者说一个明显当得起这个名字的数学构造。它的顶点就是所有那些坐标非0即1的点。不难看出，维数每增加1，顶点的个数就翻倍，所以这个例子中顶点共有64个。
除了单纯定义形状之外，我们还可以做许多其他事情。为了简要说明这一点，我来计算一下五维立方体的边的条数。我们并不能一下子就看出边是什么，但我们可以从二维和三维的情形中得到一些线索：边就是将相邻两个顶点连结起来的线段，两个顶点如果只有一个坐标不同，那就认为它们是相邻的。取五维立方体的一个常见顶点，如（0，0，1，0，1），根据刚刚给出的定义，它的相邻顶点是（1，0，1，0，1）、（0，1，1，0，1）、（0，0，0，0，1）、（0，0，1，1，1）和（0，0，1，0，0）。一般地，每个顶点有五个相邻顶点，因而也就引出五条边。（怎样把连结相邻顶点的线段的概念从二维和三维扩展到五维，我把它留给读者自己思考。对于本次计算，它并不重要。）因为总共有25=32个顶点，所以好像有32×5=160条边。但是我们把每条边计算了两次——从它的两个端点处各算了一次，所以正确的答案是160的一半，即80条边。
图23 单位正方形和单位立方体
总结上述做法的一种方式是，称之为把几何转化为代数，通过坐标系来把几何概念翻译为等价的但只涉及数之间关系的概念。尽管我们不能直接对几何进行拓展，但我们可以对代数进行拓展，而且将这种拓展称为高维几何似乎是合情合理的。五维几何显然不像三维几何那样与我们的切身经验直接相关联，但这并不妨碍我们去思考它，使它作为模型发挥作用。
四维空间能否图像化？
三维物体能够图像化而四维物体不能——这个命题看似显然，实际上却经不起严格的审视。尽管将物体图像化和直接观察它的感觉十分相像，这两种体验却有很重要的区别。例如，如果别人要求我将一个房间画出来，这个房间我比较熟悉但不是十分熟悉，这对我来说没什么困难。如果要问我一些关于它的简单问题，诸如房间里有多少椅子或者地板是什么颜色，我通常答不上来。这说明大脑中的图像不论是什么样的，还是不同于照片式的呈现。
在数学语境中，能与不能将某物图像化的重要区别在于，前一种情形下，我们能直接回答问题而无须停下来进行计算。这个“直接”当然只表示一种程度，但实际上毫不夸张。比如，如果要问我三维立方体有多少条边，我可以通过“仅仅观察”，看到顶面有4条边，底面有4条边，还有4条边从顶面伸到底面，所以一共是12条。
在高维空间中，“仅仅观察”变得困难了，我们常常被迫要像我在讨论五维空间中的推理问题时那样进行更多论证。但观察有时也是可能的。比如，我可以思考一个四维立方体，它由两个彼此相对的三维立方体组成，对应顶点以边（在第四维中）相连，就像三维立方体由两个彼此相对的正方形组成，对应顶点也连结起来一样。尽管我对四维空间没有一个完全清晰的图像，但我仍然可以“看见”两个三维立方体各有12条边，8条边连结着它们对应的顶点。这样，一共就有12+12+8=32条边。于是我可以“仅仅观察”到，五维立方体又是由这样的两个四维立方体组成的，依旧是对应顶点相连，总共有32+32+16=80条边（每个四维立方体有32条边，其间有16条边连结它们），恰与我之前得到的答案相同。于是，我具有了某种初步地将四维和五维图像化的能力。（如果你对“图像化”这个词感到困扰，可以换一个词，比如“概念化”。）当然，这远比三维的图像化要困难——比如，我无法直接回答，四维立方体旋转是什么样子，而三维的我就可以说出来——但是，这也明显要比五十三维的图像化要容易，要是它们都不可能的话也就谈不上谁比谁容易的问题了。有一些数学家专攻四维几何，他们四维空间图像化的能力得到了极大拓展。
对数学来说，这个心理学要素的影响已远远超出几何学的范围。投身于数学研究所能得到的乐趣之一就是，随着专业领域的经验越来越丰富，你能够发现自己“仅仅观察”就能得到越来越多问题的答案，不一定非得是几何问题，而这些问题你以前可能要艰难思考上一两个小时。举个很基本的例子，来看471×638=638×471这条陈述。为了验证，我们可以通过两个很长的竖式乘法来计算，发现它们得到相同的结果。但是，如果考虑一个471乘638的矩形点阵，你就可以看出，第一个式子是各行点之和，第二个式子是各列点之和，所以它们必然得到相同的结果。注意，在这个问题上，我们头脑中的图像与相片化的图像是很不一样的：你真的看到了一个471乘638的矩形，而不是463乘641的矩形吗？你难道能数出短边所有的点来验证吗？