牛津通识读本：数学（中文版） [11]
高维几何中的点是什么？
表明能够赋予高维几何某种意义是一回事，但要表明这个问题为什么值得认真对待就是另一回事了。在这一章的前面部分，我曾经说它作为模型是很有用处的。但是，既然我们所居住的实际空间是三维空间，高维几何究竟有什么用处呢？
这个问题的答案相当简单。第一章中我谈到，一个模型可以具有许多不同的功用。即使二维和三维几何也用于许多不同目的，而不仅仅是物理空间的直观模型。例如，我们表示物体的运动时，常常画一张图来记录它所走过的距离随时间的变化。这个图是平面上的一个曲线图，曲线的几何性质与物体运动的信息相对应。为什么二维几何适用于这个运动过程的模型化呢？因为在这里有两个我们关心的数——流逝的时间和走过的距离——如我所说过的，我们可以将二维空间看作所有成对的数的集合。这就提示了我们，为什么高维几何会有用处。宇宙中可能并没有潜藏着高维空间，但需要同时考虑好几个数的情形却有不少。我下面将简要描述两种情形，之后你很明显地可以发现还会有更多的类似情形。
设想我要描述一把椅子的位置。如果是向上直立着的，它的位置就完全是由两条腿与地面接触的点来确定的。这两个点可以分别通过两个坐标来描述。于是四个数就可以用于描述椅子的位置。但这四个数是有联系的，因为椅子腿底端的相互距离是固定的。如果这个距离是d，地面上两条腿位于点（p，q）和（r，s），那么由毕达哥拉斯定理有（p－r）2+（q－s）2=d2。
这就对p，q，r，s施加了约束，我们可以用几何语言来描述这种约束：四维空间中的点（p，q，r，s）被限制在某个特定的三维“曲面”上。更复杂的物理系统也可以用类似的方式来分析，维度也变得更高。
高维几何在经济学中也很重要。例如，你如果正在犹豫买某个公司的股票是否明智，那么能帮助你进行决策的大多数信息都是以数字的形式出现的——劳动力规模、各种资产的价值、原材料的成本、利率，等等。作为一个序列，这些数可被看作某种高维空间中的一个点。通过分析许多类似的公司，你可能会确定出空间中的某个区域，认为购买此区域中的股票是不错的主意。
分数维
讨论到现在，如果说有什么事情看起来很明显的话，那就是任何形状的维数总是一个整数。你要是说需要两个半坐标来确定一个点——即便是个数学的点，这会是什么意思呢？
这个说法看起来很有道理，但我们遇到的这个困难和在第二章中定义23/2这个数之前遇到的困难非常类似，当时是用抽象方法绕过了它。我们能否对维度做相似的事情呢？要想这么做，我们就必须找到与维度相关的某些性质，它和整数并没有直接的关系。这样就把与坐标数字相关的一切排除在外了，因为坐标看起来和维度这个概念联系实在太紧密了，让人很难思考其他东西。但是，的确还有另一种性质，在本章开头简短地提到过，它恰好给出了我们所需要的东西。
几何有一个重要特征会随维数变化，这就是当把形体沿各方向以因子t扩张时，有个规则决定形体尺寸如何变化。尺寸一词，我指的是长度、面积或者体积。在一维上尺寸变为t倍，或t1，在二维上尺寸变为t2倍，在三维上变为t3倍。因此，t的指数就告诉了我们形体的维数。
图24 将正方形分成9=32个小正方形，将立方体分成27=33个小立方体
到现在为止，我们还没有完全从描述中丢弃整数，因为数字2和3本身就隐含在“面积”和“体积”这两个词中。我们还可以不用这两个词，而采取如下的办法。为什么边长为3的正方形，面积是边长为1的正方形的9倍？原因是，我们可以把大正方形切成9个与小正方形全等的部分（如图24）。类似地，3乘3乘3的立方体，可以分成27个1乘1乘1的立方体，所以体积是小立方体的27倍。于是，我们可以说，因为当立方体以因子t扩张时（其中t是大于1的整数），则新的立方体可以分成t3个原来的立方体，所以立方体是三维的。注意，“体积”一词没有在上一句话中出现。
现在我们可能会问：像上面一样推理得到的却不是整数，有这样的形体吗？答案是有的。一个最简单的例子就是科赫雪花。我们无法直接描述它，而是要把它定义成下列过程的极限。首先从一条直线段，比如长度为1的线段开始。把线段分成三段相等的部分，以中间一段为底，作一等边三角形，再用三角形的另外两条边来代替中间这一段。结果得到的图形是由四条直线段组成的，每一段的长度都是三分之一。再将每条线段都切成三段相等的部分，仍将所有的中间一段都用等边三角形另两边来替代。现在的结果是16条线段，每条线段的长度是九分之一。接下来如何继续这一过程就很清楚了。开始的几步如图25所示。不难严格证明，这个过程将导致一个极限形状，正如图中所提示的那样。这个最终形状就是科赫雪花。（取三个这样的形状，连起来形成一个三角形，这样看起来会更像一个雪花。）
科赫雪花有一些很有趣的特征。和我们的主题相关的一个是，这个形状可以用它自身的微小版本建造出来。这仍然可以从图中看出来：它由四个小版组成，每一小版都是由完全版以因子三分之一收缩而得的。现在让我们来考虑，关于维数它告诉了我们什么。
图25 建造科赫雪花
如果一个形体是d维的，那当它以因子三分之一收缩时，它的尺寸会除以3d。（如我们所见，当d为1，2，3时，这是正确的。）这样，如果我们能够用图形的微小版本来构建出原图形，那么我们就需要3d个小版本。因为对于科赫雪花来说需要四个，所以它的维数d应当满足3d=4。由于31=3而32=9，这意味着d介于1和2之间，所以并不是一个整数。实际上，这个数是log34，约为1.261 859 5。
这个计算依赖于科赫雪花能够分解为较小的自身这个事实，这是个十分罕见的特征：连圆都不具备这样的特点。不过，我们还可以进一步发展上述思想，给出更为普适的维度定义。正如我们应用抽象方法的其他情况一样，这并不意味着我们发现了科赫雪花以及类似奇异形体的“真正的维度”，我们仅仅是找到了与特定性质相容的唯一可能的定义而已。实际上，还有其他定义维度的方法，会对这个问题给出不同的答案。例如，科赫雪花的“拓扑维数”是1。粗略地讲，这是因为它像直线段一样，删掉内部任何一个点后就分解成为两个不相连的部分。
对于抽象化和一般化这两个孪生的过程，这个例子提供了一点有趣的启示。我已经提到过，要将一个概念一般化，我们应当先找出与其相联系的一些性质，再将这些性质进行一般化。这样做通常只有一种自然的方式，但有时，不同的性质组合会导致不同的一般化，而多种一般化方法有时会硕果累累。
第六章 几何
亘古以来，最具影响力的数学书大概要数约公元前300年欧几里得的《几何原本》了。尽管欧几里得生活在两千多年以前，但在多种意义上，他都可以算得上第一位现代数学家——至少是我们所知道的第一位。尤其是，他是第一位系统地使用公理化方法的作者，以五条公理开始全书，并由它们推导出许许多多的几何定理。大多数人熟悉的几何——如果他们的确熟悉某种几何的话，就是欧几里得几何。但从研究的层次来讲，“几何”一词则有着更广泛的定义：当今的几何学家已经不大用到直尺和圆规了。
欧几里得几何
下面是欧几里得的公理。根据通常的惯例，我用“直线”一词表示两端都能无限延伸的线。“直线段”则表示有两个端点的线。
1. 任意两点有且只有一条直线段相连。
2. 任意直线段可以两端延伸形成一条直线，且只能形成一条直线。
3. 给定任意一点p及任意长度r，存在以r为半径、p为圆心的圆。
4. 任意两个直角全等。
5. 直线N与两条直线L和M相交，若N的同旁内角之和小于两直角，则L和M相交于N的这一侧。
第四条和第五条公理如图26所示。第四条公理的意思是，如果你将一个直角移动到另一个直角上，它们恰好能够重合。对于第五条公理，由于图中所标的琢与β两角之和小于180度，所以我们知道直线L和M会在N右侧的某处相交。第五条公理与所谓的“平行公设”是等价的。平行公设断言，给定任意直线L和直线外一点x，有且只有一条直线M经过x且永远不与L相交。
欧几里得用这五条公理建造起了全部的几何学，在那之后人们也正是如此去理解几何的。例如，下面就给出了三角形内角和等于180度这个著名结果的证明框架。第一步要表明，如果直线N与两平行线L和M相交，则内错角相等。也就是说在类似图27的情况下，必定有α=α′及β=β′。这是第五公理的推论。首先，第五公理告诉我们α′+β至少是180度，否则L和M就会相交（图中直线N左侧的某处）。由于α和β在一起形成一条直线，β=180-α，有α′+（180-α）至少是180，也就是说α′不小于α。由同样的论证，α+β′=α+（180-α′）至少是180，所以α不小于α′。于是只可能是α与α′相等。又因为β=180-α和β′=180-α′，于是推出β=β′。
现在考虑三角形ABC，记顶点位于A、B、C的三个角分别为α、β、γ。由第二公理，我们可以将线段AC延伸为直线L。平行公设告诉我们经过β有一条直线M与L不相交。取α′和γ′为图28所示的角。很明显有α′+β+γ′=180，因为α′、β和γ′形成一条直线。因此α+β+γ=180，正是我们所要求证的结论。
图26 欧几里得第四公理，及第五公理的两个版本
图27 欧几里得第五公理的推论
图28 三角形内角和为180度的证明
关于日常生活，这个论证告诉了我们什么呢？一个显然的结论似乎是，如果你取空间中A、B、C三点，仔细测量三角形ABC的三个内角，那它们加起来的和就是180度。一个简单的实验就可以证实这一点：在纸上画个三角形，把它尽可能整齐地剪下来，撕成三片，每片包含一个角，将各角拼在一起，可以看到这些角形成了一条直线。
如果你现在确信，不可能想象存在一个物理的三角形，其内角和不等于180度，那么你和历史上很多人站在了一起——从公元前300年的欧几里得到18世纪晚期的伊曼努尔·康德，其间所有人都得到了这个结论。康德非常相信这个结论，以至于他在《纯粹