牛津通识读本：数学（中文版） [12]
但是康德错了：大约30年后，伟大的数学家卡尔·弗雷德里希·高斯就能够设想这样一个三角形。有此设想后，他实地去测量了三座山峰构成的三角形的角，分别是汉诺威王国的霍亨哈根山、因瑟尔山和布罗肯山，以检验其内角和是否为180度。（这个故事很有名，但诚实的美德迫使我在此注明，人们对于他是否真的想要检验欧几里得几何有一些怀疑。）他的试验不够具有说服力，因为要足够精确地测量这几个角很难，但这个试验的有趣之处与其说在于结果，不如说在于高斯竟然真的去费心尝试。我刚才给出的论证中究竟哪里可能错了呢？
其实，这个问题问得不对，因为上面的论证是正确的。但是，既然它以欧几里得五条公理为基础，除非这些公理在日常生活中正确，它就不能提示关于日常生活的任何事情。因此，要怀疑的是论证的前提条件，也就是要怀疑欧几里得公理的正确性。
但哪条公理看起来有一点点可疑呢？很难在它们任何一个中找出错误。如果你想在现实世界中用一条直线段连接两个点，那你只需拉紧这条线，使它通过两个点。如果你想把这条直线段延长为直线，那你可以改用激光柱来做到。类似地，画出任意半径和圆心的圆似乎也没有什么难度。经验还告诉我们，拿起纸的两个直角，确实可以使它们恰好重合在一起。最后，有什么能够阻止两条直线像无穷长的铁轨一样一直延伸到无限远？
平行公设
在历史上，引起最多怀疑的——或者至少是最让人感到不放心的公理，就是平行公设。它比其他公理都复杂，并且其基础就涉及到了无穷。当我们证明三角形内角和等于180度时，我们必须依赖于空间最远处所发生的事情，这难道不奇怪吗？
让我们更仔细地来检查一下平行公设，并且努力去理解为什么人们觉得它如此显然是正确的。或许在我们的思维深处存在着下列几项论证之一。
（1）给定直线L和直线外一点x，要通过x做一条平行线，只要选经过x并和L沿着同样的方向的线即可。
（2）记y为另一个点，它与x同在L的一侧，且到L的距离相同。用直线段连结x和y（公理1），再将这个直线段延长为直线M（公理2）。那么M就不会与L相交。
（3）记与x在L同一侧且到L距离相同的点组成的直线为M。显然它与L不相交。
以上这些论证考虑的都是平行于L的直线的存在性。下面还有一个更复杂的论证，它想要表明这样的直线至多只有一条，这是平行公设的另一个部分。
（4）将L和M用间距相同的平行线段连起来（如图29所示，就像铁轨那样），使其中一条线段经过x。现在假设N是另一条经过x的直线。在x的某一侧，N必然位于L和M之间，因此它会与相邻的一条平行线段交于点u，这个点也位于L和M之间。假设u的位置在M到L距离的1 处，那N与下一条线段交点的位置就会在2 处，依此类推。于是，经过100条线段后，N将与L相交。因为我们对N所作的假设仅仅是N不同于M而已，由此可以得出M是经过x且不与L相交的唯一的直线。
最后，对于经过一点且平行于L的直线，这里还有一个貌似能同时说明其存在性和唯一性的论证。
图29 平行线的唯一性
（5）平面上一点可以用笛卡尔坐标系来描述。一条（非竖直）直线L有一方程形如y=mx+c。通过改变c，我们可以上下移动L。显然，这样得到的直线任意两条都不可能相交，而且平面上任意一点都恰好被一条这样的直线所包含。
注意，我刚才所做的是试图证明平行公设，这也恰恰是19世纪以前许多数学家试图去做的。他们最希望将平行公设由另外四条公理推导出来，从而表明我们可以忽略掉它。然而，没有人成功过。上面我给出的这些论证及所有类似论证的毛病就在于，它们都隐含了前提假设，当把这些假设明确表达出来时，都不是欧几里得前四条公理的明显推论。尽管这些论证好像都很有道理，但它们并不比平行公设本身更有道理。
球面几何
将隐含假设明确表达出来的一个好办法，是在不同的情形下检查同样的论证。怀着这个想法，让我们来看看球面的情况。
要说平行公设在球面上不成立，这并非一望而知地显然，因为球面上根本就没有直线。我们需要使用数学中一种重要的基本思想来绕过这个难题。这种思想是抽象方法发挥作用的一个深刻例子，它就是要重新解释直线是什么意思，从而使球面上的确可以包含直线。
其实是有一种自然的定义的：一条线段就是完全位于球面内的从x到y的最短路径。我们可以把x和y想象为城市，把线段想象为飞机所走的最短路线。这样的路径必定是“大圆”，即过球心的平面切割球面所得到的圆（如图30所示）的一部分。大圆的一个例子是地球的赤道（为了讨论方便，不妨暂且把地球看作一个严格的球体）。有了定义线段的办法，大圆也就自然成了“直线”的恰当定义。
图31 球面几何中平行公设不成立
如果我们采用这样的定义，平行公设当然就不成立了。例如，设L为地球的赤道，x为北半球的一点。不难看出，任何经过x的大圆都必有一半在北半球，另一半在南半球，与赤道相交于恰好相对的两点（如图31所示）。换句话说，经过x不存在一条与L不相交的直线（我仍然指的是大圆）。
图30 大圆
这看上去好像是在耍花招：如果我用新的办法来定义“直线”，那平行公设不再成立并不特别令人吃惊。但令人吃惊不是我们的目的——实际上，我们的定义正是为了要使它不成立才如此设计的。检查一下人们在证明平行公设上的尝试会很有意思。在每个例子中，我们都能够发现在球面几何下无效的隐含假设。
比如，论证（1）假设了，“同样的方向”这个短语的意思很明显。但在球面下这一点完全不明显。为看清这一点，考虑图32所示三点，N为北极点，P在赤道上，Q也在赤道上，到P的距离为赤道的四分之一。图32中还在P的位置画了一个小箭头，沿赤道方向指向Q。那么在Q的位置上，指向同样方向的箭头应该怎么画？仍然沿着赤道方向是比较自然的。那在N处的同方向箭头呢？我们可以这样选择：从P到N画一条线段。既然P点的箭头与这条线段成直角，那N点的箭头也应该如此，那实际上也就是应当朝下指向Q。但是，我们现在就遇到了问题：我们在N点画的箭头和在Q点画的箭头指的并不是同一个方向。
图32 球面上“同样的方向”没有意义
论证（2）的问题在于不够详细。为什么此处定义的直线M就不会与L相交？毕竟，如果L和M是球面直线的话，那它们会相交。对于论证（3）来说，它假设了M是一条直线。对球面来说这不正确：如果L是赤道，M由赤道北边1000英里的所有点组成，那么M就不是大圆。实际上，这是一条纬度恒定的线，所有飞行员和航海员都会告诉你，这不是两点间的最短路线。
论证（4）有点不一样，因为它考虑的是平行线的唯一性而不是存在性。我会在下一小节讨论它。论证（5）作出了一个巨大的假设：这个空间能够用笛卡尔坐标系来描述。但同样，这对球面来说是不正确的。
引入球面几何的意义在于，它让我们可以从论证（1）、（2）、（3）、（5）中分离出某些假设，这些假设实际上是在说：“我们所做的几何不是球面几何。”你可能会奇怪，这有什么错呢：毕竟我们做的不是球面几何。你可能还会奇怪：如果平行公设确实不是从欧几里得的其他公理中得出，我们怎么才有希望表明这一点呢？说数个世纪以来的数学家努力推导它都以失败而告终是没用的。我们怎么能确定，两百年之内会不会有某位年轻的天才能用绝妙的新思想最终得出证明？
这个问题有个漂亮的回答——至少是在原则上。欧几里得前四条公理的目的在于描述一种有限、平坦、二维空间的几何，但我们并不非要这样去解释它们——至少不是非得按照公理中那种平坦性去解释。如果我们可以将新的含义赋予“直线段”等短语，从而对公理进行重新解释（有人大概会说是“错误解释”），就像我们在球面几何中做的那样；如果我们这样做之后，发现前四条公理都是正确的但平行公设是错误的，那么我们就表明了，平行公设并非从其他公理中推出。
为了看清其中原因，可以想象一种假想的证明，从前四条公理出发，经过一系列严格的逻辑步骤，最终得出平行公设。由于这些步骤都遵循逻辑，如果我们对其赋予新的解释，它们仍会保持有效。但在新的解释下，前四条公理都是正确的，而平行公设不正确，所以这样的论证必然是有错误的。
为什么我们不能正好用球面几何来重新解释呢？原因是，很不幸欧几里得前四条公理在球面上并不全部成立。例如，球面上不能包含半径任意大的圆，所以第三公理不成立；而且从北极到南极不止有一条最短路径，所以第一公理也不成立。所以，尽管球面几何能够帮助我们理解某些尝试过的对平行公设的证明中的缺陷，但它仍然不能保证其他可能成立的证明不存在。因此，我要转向另一种新的解释，称为双曲几何。平行公设在这里再次不成立，但这一次第一到第四公理都是成立的。
双曲几何
描述双曲几何有若干种等价的方式。我所选择的这一种称为圆盘模型，是由伟大的法国数学家亨利·庞加莱所发现的。尽管在这样一本书中我无法确切地给出定义，但我至少能够解释它的一些主要特征，并且讨论一下关于平行公设它能告诉我们什么。
理解圆盘模型比理解球面几何要复杂，因为我们不光要重新解释“直线”和“直线段”等词语，还要重新解释距离这个观念。在球面上，距离有一个很好理解的定义：x和y两点间的距离，就是在球面上从x到y最短路径的长度。尽管双曲几何中类似的定义也是正确的，但并不显然，理由涉及到什么才是最短路径——或者说任意路径的长度是什么，我们在下面能看得很清楚。
图33所显示的，是用正五边形对双曲圆盘进行镶嵌。当然我们还需要解释这句话，因为要以通常的方式来理解，图肯定是错误的：显而易见，这些“五边形”的边不是直的，长度也不相同。然而，双曲圆盘中的距离并不是用通常的方式定义的，和常规距离相比，越靠近边缘的距离越大。实际上，虽然看似不像，但边缘处的距离特别大，以至于从圆周上到中心处的距离是无穷大。所以，标星号的五边形之所以有一条边看起来比其他四条边都长，原因就是这条边最靠近中心。其他的边可能看起来短，但由双曲距离的定