牛津通识读本：数学（中文版） [13]
图33 用正五边形镶嵌双曲平面
如果这看起来很难解很矛盾，那不妨考虑一幅典型的世界地图。大家都知道，因为地球是圆的而地图是平的，所以距离必然被扭曲了。表示这种扭曲的方式有很多种，最常用的一种是墨卡托投影，靠近极地的国家会显得比它们实际的要大得多。比如格陵兰就看似和整个南美洲大小相当。在这样的地图上，越靠近上端或下端，实际距离就比表面上的距离越小。
这种扭曲会产生一个众所周知的效应，地球表面上两点间最短路线在地图上就显示成了弯的。这种现象可以通过两种途径来理解。第一种是忘掉地图，想象一个地球仪，观察到如果在北半球选两点，第一点在第二点东边很远（巴黎和温哥华是个不错的例子），那么从第一点出发到第二点的最短路径会从靠近北极的地方穿过而不是伸向正西。第二种方法是直接从地图出发，根据越靠近顶部实际距离越短来推理，那么要想缩短旅程，应该同时既向西又向北走。用这种办法很难精确看出最短路径是什么，但至少“直线”（从球面距离的角度看）是弯的（从地图距离的角度看）这条原则是很清楚的。
我前面说过，越靠近双曲圆盘的边缘，与外表距离相比起来，实际距离越大。这样的结果是，两点间的最短路径倾向于朝圆盘中心偏折。这也就意味着它不会是通常意义上的直线（除非这条线恰好通过中心）。结果是，双曲直线，即双曲几何观点下的最短路径，正是与大圆边界成直角的圆弧（如图34所示）。现在再去观察图33的五边形镶嵌图，你会发现五边形的边尽管看起来不是直的，但其实都是双曲直线段，因为根据我刚才给出的定义，它们都可以延伸为双曲直线。类似地，尽管这些五边形的大小和形状看起来不都一样，但实际上的确是一样的，因为靠近边缘处的五边形要比它们看起来的大得多——与格陵兰的例子正相反。如同墨卡托投影一样，圆盘模型也是实际双曲几何的扭曲的“地图”。
图34 双曲直线
到这里，有人很自然会问实际的双曲几何是什么样子。也就是说，这个扭曲的地图是反映什么的地图呢？什么东西和圆盘模型的关系，与球面和墨卡托投影的关系是对等的呢？这个问题的确不太好回答。球面几何之所以能够在三维空间中的曲面上实现，这某种意义上是侥幸。如果我们本来是从墨卡托投影开始，从它对距离的奇怪概念开始，并不知道这其实是球面的地图，那么我们要是发现它恰好对应于一个完美对称的曲面，正是将曲面投射到平面的地图，而地图距离只不过是常规意义下容易理解的曲面最短路径长度，那我们一定会既惊讶又高兴。
不幸的是，对于双曲几何来说这种情况却不存在。但有意思的是，这并没有使双曲几何比起球面几何来缺乏实在性。这有点难以理解——至少刚开始有点，但正如我在第二章中强调的，数学概念的实在性更多地与它做什么而不是与它是什么相关。因为我们能够说清双曲圆盘做什么（例如，你要问我，将五边形镶嵌图沿中心五边形的一个顶点旋转30度是什么意思，那我是能够回答你的），所以双曲几何就和其他所有数学概念一样真实。从三维欧氏几何的视角来看，球面几何可能更易于理解，但这并不构成根本的差异。
双曲几何的另一个性质是它满足欧几里得前四条公理。例如，任意两点都可以且仅可以被一条双曲直线段（即与主圆垂直相交的圆弧）相连。尽管看上去好像不能以任意圆心画半径比较长的圆，但这是因为你忘了，越靠近圆盘边缘距离越大。实际上，如果双曲圆几乎要擦上圆盘边缘了，那它的半径（双曲半径）将会非常大。（双曲圆恰好与普通圆外形一样，但它们的圆心却不在我们所料想的位置。参见图35。）
图35 双曲圆及圆心
至于平行公设，如我们所期望的，它对于双曲几何不成立。这可以从图36中看出，在图中我将三条（双曲）直线标为L、M1和M2在x点相交，但它们都不与L相交。因此，经过x有两条（实际上有无穷多）直线不与L相交。这违背了平行公设，平行公设说的是只能有一条直线。换言之，我们在双曲几何中恰好如愿找到了对欧几里得公理新的解释，从而说明了平行公设不是另外四条公理的推论。
当然，在本书中我其实没有证明双曲几何具有我所声称的全部性质。要这样做的话，需要在一般的大学数学课程中花上好几次课的时间，不过至少我还能就如何定义双曲距离说得更确切一些。要说清它，我就必须明确说明，在靠近圆盘边缘处，实际距离比看起来大了多少。答案是，点P处的双曲距离是“常规”距离的1/d2倍，其中d是P到主圆边界的（常规）距离。换一种说法，如果你在双曲圆盘中移动，那么根据双曲距离的概念，你经过P点的速度是你表面速度的1/d2倍。这就意味着，如果你保持恒定的双曲速度，那当你接近圆盘边界时，看起来速度就会越来越慢。
图36 平行公设在双曲平面中不成立
离开双曲几何之前，让我们来看看我前面给出的论证（4）为何不能证明平行线的唯一性。它的想法是这样的：给定直线L和直线外一点x，过x画一条直线M与L不相交，我们可以用几条垂直于L和M的线段将两条线连起来，将L和M之间的空间划分为矩形。这件事看似显然能够做到，但在双曲世界中却是不可能的，因为在其中四边形的内角和总是小于360度。换句话说，在双曲圆盘中，论证所需的矩形是不存在的。
空间何以能够弯曲？
数学中（以及物理学中）听起来最自相矛盾的短语之一就是“弯曲空间”。我们都知道线或面被弯曲是什么意思，但空间本身就是自在之物。即便我们能够在一定程度上对三维空间弯曲的概念赋予意义，与曲面的类比还是揭示出，我们自己不可能观察到空间是否弯曲，除非跳到第四维中去观察。在那里也许我们会发现宇宙是一个四维球体（我在第五章中解释过的概念）的表面，这个球面至少听起来是弯曲的。
当然，这些都是不可能的。因为我们不知道如何能站到宇宙之外——这种想法几乎在措辞上就是矛盾的——我们能够用的证据只能来自于宇宙之内。那么，什么样的证据有可能说服我们空间是弯曲的呢？
和之前一样，如果我们采取抽象方法，这个问题就变得简单些了。不去做艰深的思维体操以试图理解弯曲空间的本性，让我们仅仅遵循扩展数学概念的寻常程序。我们理解“弯曲”一词用在二维表面时的意思。为了把它用在不太熟悉的情形中，即用到三维上，我们必须努力找到弯曲表面易于扩展的性质，就像我们要定义23/2、五维立方体或科赫雪花的维度时所做的那样。因为我们最终要找到的性质应当是能够在空间之内察觉到的，所以我们应当去寻找，怎样在不需要站到弯曲表面之外的情况下就能察觉到它的弯曲性。
比如，确信地球表面是弯曲的一种办法是乘坐航天飞机向地面看，发现它近似球形。但是下面的这个更接近二维情形的试验，同样非常有说服力。从北极点出发一直向正南走大约6200英里，记下你初始的方向。然后向左转，再走相同的距离。然后再向左转，再走一次相同的距离。6200英里大致是北极点到赤道的距离，所以你的旅程会把你从北极点带到赤道，绕赤道走过四分之一，然后再次回到北极点。而且，你回到北极点时的方向应当与你出发的方向夹一直角。于是我们得到，在地球表面上，有一个各角均等于直角的等边三角形。在平坦表面上，等边三角形的内角必须相等且和为180度，所以各角均为60度。因此地球表面不是平坦的。
于是，从曲面内部说明二维曲面弯曲的一种方法，就是找出内角和不为180度的三角形，而且这种办法也是可以在三维中尝试的。这一章我主要关注二维中的欧氏几何、球面几何和双曲几何，但它们都很容易扩展到三维上去。如果我们测量空间三角形的角度，发现它们的和大于180度，这就说明空间更接近于三维版本的球体表面，而不太接近于能用三个笛卡尔坐标描述的那类空间。
如果事实确实如此，那么说空间是正性弯曲的似乎就很合理了。这个空间可以预料到的另一个性质是，沿同一方向出发的直线都会相互靠近并最终相交。还有一个性质，半径为r的圆的周长不是2πr，要比这个数小一些。
你可能很想指出，我们所知的这个空间并没有这些特性。沿相同方向的直线一直都能保持相同的方向，三角形内角和及圆的周长都如它们所应是的那样。换句话说，即便空间在逻辑上是可能弯曲的，它看起来其实也是平坦的。但是，空间对我们而言看上去平坦，有可能只是因为我们生活在空间特别小的一部分之中。这就像对那些没走过太远的人来说，地球表面看起来也是平的——至少除了大大小小的凹凸外基本平坦。
换句话说，空间可能只是粗略地平坦。如果我们能够画一个非常大的三角形，或许就会发现它的内角和不是180度。这就是高斯试图做的，可他的三角形却根本不够大。然而，在1919年，史上最著名的科学实验之一显示，弯曲空间的思想不仅是数学家的迷思，更是生活中的事实。根据爱因斯坦四年前发表的广义相对论，空间因引力而弯曲，因而光的行进并不总是沿直线——至少是按欧几里得的意思来理解的直线。这个效应很微弱，很难轻易探测到，但1919年一次日全食提供了很好的机会。这次日全食可以在几内亚湾的普林西比岛观测到。日食发生时，物理学家阿瑟·爱丁顿拍摄下了照片，照片显示靠近太阳的星星并不在通常预期的位置上，这正符合爱因斯坦理论的预测。
尽管人们现在已经接受空间（更精确地讲，是时空）是弯曲的，但也有可能正像地球表面的山峦和谷地一样，我们所观测到的曲率只不过是某个更为庞大、更为对称的形状上的小摄动。天文学中一个重大的未决问题就是去确定宇宙的大尺度形状，即将恒星、黑洞等造成的弯曲熨平后宇宙的形状。它是仍然像大球面一样是弯曲的呢，还是像我们自然而然却很可能错误地想象的那样，是平坦的呢？
图37 双曲三角形
还有第三种可能性，宇宙是负性弯曲的。容易理解，这是指或多或少与正性弯曲相反。所以，负性弯曲的证据就会是，三角形内角和小于180度，沿相同方向的直线会发散，或者是半径为r的圆的周长大于2πr。这类行为在双曲圆盘上会发生。例如，图37显示了内角和明显小于180度的三角形。要将球面和双曲圆盘扩展到高维的类似情形并不难，而且就大尺度的时空形状而言，双曲几何有可能是比球面几何和欧氏几何更好的模型。
流形