牛津通识读本：数学（中文版） [14]
闭曲面是指没有边界的二维形状。球面就是个不错的例子，环面（即铁圈或面包圈的形状的数学称谓）也是。对曲率的讨论表明，曲面虽存在于三维空间之中，但若脱离开三维空间的参照来思考曲面，可能会很有益。如果我们要将闭曲面的概念扩展到高维空间，这样的想法就更加重要了。
不是只有数学家愿意从纯二维的角度来思考曲面。比如，美国的几何结构受到地球弯曲的显著影响，但如果想设计一幅实用的公路地图，则并不需要印在单张弯曲的大纸上。更实际的办法是印成数页的书，每一页上都是这个国家的一小部分。这些局部最好部分重叠，这样一来，如果有城镇位于某一页的边缘，显得不太方便，那它在另一页将不再处于边缘位置。另外，在每一页的边上都要指明，哪一页包含了重叠的区域，重叠以怎样的形式出现。由于地球的弯曲，没有哪一页是绝对精确的，但我们可以在图中画出经线和纬线以指明微小的扭曲。用这种办法，我们就可以用书中平坦的几页纸把美国的几何结构完全包纳了。
原则上，我们可以用类似方法制出精度相当的世界地图册（不过会有很多页几乎全是蓝色的）。因此，球面的数学性质就能以这种方式被一本地图册所涵盖。如果你想要回答有关球面的几何问题，却完全没有能力将球面图像化，只要你手头上有一本地图册，稍加努力就能做得到。图38显示了一个九页的地图册，画的并不是球面，而是环面。要看出它是如何对应于环形曲面的，可以想象一下，将各页粘在一起形成一大页，然后将大页的上下粘合形成圆柱，最后再将圆柱两端粘接。
数学中一大重要分支研究的就是称为流形的对象。流形正是将上述思想扩展到三维或更高维所得的结果。粗略地讲，一个d维流形就是任何一个这样的几何对象，其中任意一点都会被一小块极为类似于d维空间的区域所包围。由于随着维数的增加，流形会变得越来越难以图像化，所以地图册的思想也就相应变得更加有用了。
图38 环面地图册
让我们稍加考虑一下，一个三维流形的地图册会是什么样的。其中每一页当然都必须是三维的，而且和公路图的页面一样应当是平坦的。所谓平坦，也就是应当为一块块我们熟悉的欧氏空间。我们可以要求它们都是长方体，但这在数学上并不太重要。这些三维“图页”中的每一页都是流形上一小部分的地图，我们会仔细地标记出各页之间如何重叠。一种典型的标记可能是这样的：在A页某边缘处的（x，y，z）点对应于B页上的（2y，x，z-4）点。
给定了这样的地图册，要如何想象在流形上的移动呢？显然的方式是，设想在某页上移动的一点，一旦该点到达该页边缘时，还会有另外一页表示流形相同的局部，但点在其中不位于边缘，所以我们可以转向那一页。于是，流形的全部几何都可以用地图册来公式化地表达，所以没有必要将流形视作“确实”置身于四维空间中的三维表面。实际上，某些三维流形甚至根本就不可能被放入四维空间中。
一些很自然的问题会随地图册的思想而来。例如，尽管地图册能使我们说明在流形中移动是什么情况，但如果地图册的页数太多，相互重叠的规则特别复杂，我们要如何从中得到对流形基本“形状”的一些感觉呢？我们怎样才能辨别两本不同的地图册其实都是关于相同流形的？特别是，有没有某种简易的办法，让我们一看到三维地图册，就能辨别它表示的是不是四维球体的三维表面？最后一个问题的一种精确表述称为庞加莱猜想，尚未解决；解答这一问题将能够得到100万美元的奖金（由克雷数学研究所提供）[1]。
第七章 估计与近似
大多数人认为数学是一门纯净、精确的学科。我们经过在中小学的学习，料想数学问题如果可以被简洁地陈述，大概就能得到简练地回答，通常是一个简单的公式。而继续学习大学阶段数学的人，尤其是那些专门研究数学的人，很快就发现这样的想法实在是大错特错。对于很多问题来说，如果有人能够找到解答的精确公式，那简直完全出人意料，如同奇迹一般。多数情况下，我们不得不满足于大致的估计。在你对此感到习以为常之前，这些估计总是看似很丑陋，难以令人满意。然而，品尝一下其中的滋味也是值得的，否则你就会错过数学中很多最伟大的定理以及最有趣的未解决问题。
无法用简单公式表达的简单序列
记a1，a2，a3，…为一列实数，根据如下规则产生。第一个数a1等于1，后面各个数都是前一个数加上其平方根。也就是，对任意n，我们让。基于这个简单的规则，显然可以提出问题：an是什么数？
为了对这个问题有些感性认识，让我们对较小的几个n来算出an。我们有。接下来：等等等等。注意，等号右端的表达式看起来无法简化，而且每个新的表达式都是前一个长度的两倍。从这个观察中，很容易得出，数字a12的表达式中将会出现1024个2，它们中的大多数都深深地位于根号丛中。这样的表达式并不会使我们对数字a12有多深的了解。
那么我们因此就应当放弃去理解这个序列吗？不。尽管当n比较大时，要考虑an的精确值似乎没有好办法，但这并未排除得到较准确估计的可能性。实际上，一个好的估计最终可能反而会更有用处。我上面写出了a5的精确表达式，但和a5约为这条信息比起来，这个表达式让你更好地理解a5了吗？
所以，让我们不要再问an是什么，转而去问an大约是多大。也就是，让我们寻找能给出an较优近似值的简单公式。这样的公式是存在的：an大约为n2/4。要严格地证明需要一点技巧，但要看出为什么这个估计是合理的，我们要注意：
也就是说，如果bn=n2/4，那么。要是没有其中的“+1/4”的话，这个式子就会告诉我们bn正和an的生成方法一样。而当n较大时，加上1/4“只不过是个小扰动”（这就是我略去证明的部分），所以bn可以看作近似正确地生成，由此推出bn即n2/4给出了an较好的近似，正如我之前所断言的。
近似的方法
作类似于刚才的关于近似的论断时，明确什么才算是较好的近似很重要，因为标准会随着情景的不同而变化。如果想用一条能够简单定义的序列b1，b2，b3，…来近似一条稳定增大的序列a1，a2，a3，…，那我们所能期待的最优近似——实则很少能够达到，就是每一对an和bn的差距都小于一定值——诸如1000。那么随着an和bn增大，它们的比值会非常接近于1。例如，假设某时有an=2408597348632498758828，以及bn=2408597348632498759734。那么bn-an=906，这个差虽然是个大数，但与an和bn比起来就微不足道了。如果bn是在这种意义上对an的近似，我们可以说an和bn是“相差常数以内的相等”。
另一类较优的近似是，随着n的增大，an和bn的比值变得非常接近1。当an和bn相差常数以内相等时，这种情况是成立的，但它在其他一些情况下也会成立。例如，如果an=n2而bn=n2+3n，则比值bn an为1+3n，在n较大时很接近1，尽管an和bn的差3n会很大。
即便这种情况常常也是难以企及的，如果能找到更弱的近似方法我们就会很高兴了。常见的一种方法是，如果an和bn“相差常数倍以内相等”，就视之为近似相等。它的意思是，an/bn和bn/an都不会超过某个固定的数——诸如1000也是可能的，但越小越好。换言之，此时不是an和bn的差，而是它们的比值保持在某个限度内。
要说两个相差1000倍的数大致相同，这或许看似很不合情理。但这是因为我们总习惯于处理较小的数。自然没有人会将17和13 895看作大致相同，但宽泛地讲，要说下面这样两个数规模相类则并不显得很荒唐：
2904756294089761562389545345987608890796872347514348757775468和
3609823459872097612349870982498634087623457796784587345987166464
尽管第二个数比第一个数大1000倍以上，但它们的数位大体相同——都在60到65位之间。既然没有其他有趣的性质，这一点很可能就是我们所关注的全部。
如果连这样程度的近似都是奢求，那也常常值得去找出两条参考序列b1，b2，b3，…和c1，c2，c3，…，并证明bn总小于an，而cn总大于an。那么我们可以说bn是an的“下界”，cn是an的“上界”。比如，一位数学家想估计某个量an，他可能会说：“我不知道an的值是多少，甚至连近似值也找不到，但我能够证明它至少是n3/2，但不大于n3。”如果这个问题相当困难，那这样的一个定理就可能成为重大进展。
关于对数、平方根等你只需要知道这些
估计和近似遍布于数学之中，而这个领域以外的人却不太了解这一点，部分原因在于，为了谈论近似，要使用类似于“大约和logn的速度一样快”，或者“限制在相差一个常数内为根号t”这样的语言，而这对多数人来说意义不大。幸而，对于较大数的对数或平方根，如果有人只关心近似值，便很容易理解，这一类语言也不难懂。
如果你取两个大的正整数m和n，想快速得出乘积mn的估值，那你应该怎么做？较好的办法是，一开始先数一下m和n各自的位数，如果m有h位，n有k位，那么m位于10h-1和10h之间，n位于10k-1和10k之间，所以mn位于10h+k-2和10h+k之间。于是，仅仅数一数m和n的位数就可以“在100倍以内”决定mn，即mn必落在10h+k-2和10h+k这两个数之间，且10h+k仅比10h+k-2大100倍。如果你折中一下，取10h+k-1作为估计值，那么它与mn相差的因子至多为10。
换句话说，如果你只在“相差常数倍以内”的程度上关心某个数，那么乘法立刻就变简单了：取m和n两个数，数数它们合起来的位数，减去1（如果你在乎这一点），写下一个有这么多位的数。例如，1 293 875（7位）乘以20 986 759 777（11位）大致接近10 000 000 000 000 000（17位）。如果你想做得更仔细一点，那么可以用上第一个数的首位1及第二个数的首位2，也就意味着20 000 000 000 000 000