牛津通识读本：选择理论 [3]
有许多种其他方式来指派效用。在本例中，另一种可行的效用指派方式是：
在这些方式中，没有任何一个好于其他的。它们都意味着，并且仅仅意味着一件事：A好于其他选项；B好于C和D；C和D无差异。因此，本例中所用到的效用在此意义上被称为序数效用：它所做的一切就是为选项排序。序数效用可以通过任何增加数值的方式进行转换而不影响其代表性属性，例如（假设效用都是正的），通过求二次幂或者取平方根。
如果对于某些效用指派方式来说，你所选择的选项恰好是那些至少和其他任何一个选项有同样多效用的选项，那么你的选择就是效用最大化的。在这种情况下，选择使效用达到最大。显然，只有当选择可以由偏好序列表示时，这种情况才成立。因为如果不存在偏好序列，也就没有效用指派；而如果选择由偏好序列表示，那么它们必须做到效用最大化。换句话说，当且仅当选择可以由偏好序列来解释时，它取得效用最大化。那么既然当且仅当选择可以由偏好序列来解释时它是理性的，我们可以说，当且仅当选择是效用最大化时，它是理性的。
图5确定条件下的选择示意图：等号代表定义，双箭头代表相等，单箭头代表隐含
从形式上看，作出理性选择可以等同于效用最大化。但是关键是如何来解释这种等同关系。你在X和Y之间只选择X，说明你喜欢X胜过Y，并且如果你喜欢X胜过Y，你指派给X的效用就多于给Y的效用。效用源自选择，而不是选择源自效用。你不是因为骑马比滑雪带给你更多效用才选择去骑马。正相反，因为你选择了骑马，所以你指派给骑马更多的效用。
合理性、理性和本章中提出的各种条件之间的联系如图5所示。
一些扩展
如果时间成为相关因素，情况也几乎没有改变。许多选择涉及时间，但时间并没有起到重要作用。试考虑这样一个例子：今天来选今天和明天分别吃什么。尽管这个选择涉及时间，但它可以立刻被纳入一个静态的框架。唯一的区别在于，你不再是从X和Y两个选项，而是从四个选项中进行选择：
今天选X且明天选X
今天选X且明天选Y
今天选Y且明天选X
今天选Y且明天选Y
但是，并非所有选择都适合这种模式。某个人（如果不是瑞顿这样的瘾君子）会远离海洛因，因为知道如果今天吸食了海洛因，明天他就会变成毒品的奴隶。更普遍的情况是，今天你会选择“今天选X且明天选Y”，但你知道如果今天得到X，你的偏好会发生变化，以至于明天也希望得到X。本质上，这就是荷马（约公元前700年）笔下的英雄尤利西斯所面临的问题。他让手下把自己绑在船的桅杆上，以避免他在听到海妖具有魔力的甜美歌声后想要不惜生命去追随那充满诱惑力的声音。本例中所讨论的静态理论无法处理这类问题。
即使在一个静态框架里，也不是所有问题都能直接解答。试考虑一个明显的悖论，通常称之为框架悖论。你在一家店里，已经决定要买一台标价20美元的电话和一台1000美元的电脑。首先，你得知在相距五分钟步行路程的另外一家分店里，电话要比这家店便宜10美元：你是现在买，还是去另外一家分店？其次，你得知电脑（而不是电话）在另外一家分店要便宜10美元：你是现在买，还是去另外一家分店？暂停一下，好好想想。
显然你在这两种情况下会作出相同选择，因为本质上两个问题是一样的，区别只在于问题的框架：在这两种情况下，你都可以通过去另外一家分店购买商品而节省10美元。但在一次实验中，被问到这个问题的人们绝大多数愿意在电话而不是电脑便宜10美元的情况下去另外一家店。在第一章里我已经注意到类似的悖论可能产生的种种反应。对这个例子，你也应该有自己的回答。
效用可以通过任何增加其数值的方式转换而不会影响其代表属性，这一事实隐含着一个重要推论：对效用的变化量进行比较毫无意义。试考虑这样的说法：1000美元与2000美元之间的效用差别大于8000美元和9000美元之间的效用差别。这等于说，在1000美元基础上增加1000美元，比在8000美元基础上增加1000美元带来更高效用；或者说，当你贫穷的时候，得到1000美元所带给你的边际效用大于你富裕的时候。类似这样的说法无所谓对或错：它们毫无意义。
假定人们喜欢更多财富，而不是更少，那么分配效用的方法之一就是给一定数额的金钱（以1000美元为单位）指派相同数目的效用。第二种方法是指派与金钱数额的平方根相等的效用。第三种方法是指派与金钱数额的平方数相等的效用。当然，这三种方法都同样好。
如果以等于金钱数额平方根的方式来指派效用，那么关于1000美元和2000美元的效用差额大于8000美元和9000美元的效用差额的说法貌似正确，因为两种情况下的边际效用分别约等于0.4和0.2。而如果效用以等于金钱数额平方数的方式来指派，那么这种说法貌似错误，因为两种情况下的边际效用分别约等于17和3。但是这两种指派效用的方式本身一样好：上述两次计算没有任何意义。
类似于上例中的错误想法是因为混淆了正确的表述“人们为更多财富指派更高效用，因为人们偏好更多财富”和无意义的表述“人们偏好更多财富，因为它具有更高效用”。这样的错误想法所带来的结果之一就是要求财富再分配，比如通过征收累进税的办法。所谓的财富再分配是基于这样的想法，即一个穷人接受1000美元所得到的效用大于一个富人支付1000美元所失去的效用。同样，这一想法毫无意义。此外，试图在没有依据的情况下对不同人的效用进行比较，这种做法更加剧了混淆的程度。我们没有理由反对采用平方根的方式来为每个人指派效用。但如果我们这样做，那么你的效用水平是我的两倍这一事实仅仅说明了我们已经知道的情况：你的财富是我的四倍，仅此而已。效用并不是幸福或福利的衡量尺度：它只是偏好的数字化表示。
小结
确定性条件下的选择涉及从给定的候选菜单中选择一个或多个限定选项。
缩约条件要求：如果你从候选菜单中选择了某个选项，并且在范围缩小后的菜单内依然含有该选项，那么你应该从小范围菜单中选择该选项。
扩展条件要求：如果你在某个选项与候选菜单的任何一个其他选项之间进行成对选择时都选了该选项，那么你应该从完整菜单中选择该选项，尽管不一定是唯一的。
如果存在某种“至少一样好”关系，使得你所选的选项恰好就是那些至少和菜单上剩余的任何选项一样好的选项，那么你的选择可以由偏好关系来解释。
当且仅当选择可以由偏好关系解释时，该选择是合理的，即它同时满足缩约条件和扩展条件。
显性条件要求：如果你在存在第二个选项的情况下选择第一个选项，那么任何时候你选择第二个选项，如果第一个选项也存在，你应该同时选择该选项。
如果选择可以由具备传递性的偏好关系解释，那么该选择可以由偏好序列解释。
当且仅当选择可以由偏好序列解释时，该选择是理性的，即满足显性条件。
用效用来表示一个“至少一样好”序列，就是为每个选项指派一个数字，使得当且仅当第一个选项比第二个更好时，它具有更高效用。如果存在某种效用指派方式，使得你所选择的选项恰好就是那些至少和其他选项具有一样高效用的选项，那么你的选择是效用最大化的。
当且仅当选择是效用最大化时，该选择是理性的。
第三章 赛马与轮盘赌
现在我来分析候选菜单由偶然性选项组成的情况，比如“如果红色出现，就得到100美元”或者“如果飞马赢得德比马赛，就得到鳄梨”。第一种情况的典型例子是轮盘赌，概率是给定的。第二种情况的典型例子是赛马，概率必须由推断获得。
情形
一项结果的概率是一个在0至1范围内的数字，表明该结果出现的可能性：概率越高，结果出现的可能性越大。极端情况下，概率为0意味着不可能，而概率为1则意味着确定。概率具有三项特性：（1）所有可能结果的概率相加等于1。因此，在轮盘赌中，如果一个有36道分槽的轮盘每道分槽出现的几率均等，则任意给定数字出现的概率为1/36。（2）如果两个结果不能同时出现，则两个结果中出现任意一个的概率等于两者各自出现概率之和。因此，7或12两个数字中出现任意一个的概率为2/36。不断使用这一特性可以推断出，出现任意一个偶数的概率为18/36，即0.5。（3）两个互相独立的结果连续出现的几率是两者各自出现概率的乘积。因此，连续出现两个偶数的概率为0.5×0.5，即0.25。
处于不确定状态的候选项称为赌局。一项概率赌局指一系列可能得到的回报，其中每个回报都有各自的出现概率。显然，这些概率之和必须等于1。比如“以概率0.5得到100美元，以概率0.5一无所获”，或者用另外一种表述“以概率0.5得到100美元，其余情况则一无所获”。再举个例子：“以概率0.5一无所获，以概率0.25得到熏肉，其余情况则得到奶酪。”我们可以将这两个赌局（分别用X和Y表示）写成“100美元wp0.5，一无所获wp0.5”和“一无所获wp0.5，熏肉wp0.25，其余奶酪”，其中wp代表“出现概率为”。
你可以想象赌局的结果是由某个躲在幕后转动轮盘的人来决定的。如果你选择赌局X，可以设想为：出现偶数你得到100美元，出现奇数则一无所获。如果你选择了赌局Y，可以设想为：如果数字1至18中任意一个出现，你得到鳄梨[5]，如果数字19至27中任意一个出现，你得到熏肉，如果数字28至36中任意一个出现，你得到奶酪。
“得到鳄梨的概率为1”很显然也是个赌局，可能把这个赌局直接称为“鳄梨”更自然些。这种赌局被称为简化赌局。同样，一个赌局中的回报也可以是其他赌局。例如在下面的赌局中，它的回报分别为赌局X和赌局Y：
赌局X wp0.6，赌局Y wp0.4
这个复合赌局可以被看做是由权重分别为0.6和0.4的两个赌局X和Y所组成的混合赌局。在这样的混合赌局中，回报由X和Y的所有回报组成，而与X相关的概率则是赌局X中的初始概率乘以0.6，与Y相关的概率则是赌局Y中的初始概率乘以0.4。因此，在上例中，作为赌局X的回报，获得100美元的概率为0.6×0.5，即0.3。而赌