牛津通识读本：选择理论 [2]
下面是一个同时满足两个条件的例子（即便如此，正如我们将看到的，其中所作的选择仍需进一步补充条件）。
鱼的例子
菜单由凤尾鱼、鲈鱼和鳕鱼组成：你从中选择了凤尾鱼。但如果菜单缩减到只含凤尾鱼和鲈鱼，你同等选择两者；如果菜单减到只含鲈鱼和鳕鱼，你选择鳕鱼；如果只含凤尾鱼和鳕鱼，你选择凤尾鱼。如下图所示：
注意，本例列举了你从所有可能的菜单（除了那些无足轻重的）中所作的选择。不管是从完整菜单，还是从任何含有A的削减菜单中，你都选择A，因此本例满足缩约条件。同时，A是你在进行由A和其他选项构成的成对选择中所挑选的唯一一个选项，因此本例也满足扩展条件。
我们可以用汤的例子来说明满足缩约条件但不满足扩展条件的情况，只要我们在原来的例子上再加上一条规定：在A和B之间，你选择A。你的选择变成：
现在，你从完整菜单中，同时也从所有含有A的削减菜单中，都选择了A，因此本例满足缩约条件。但是，本例的关键在于没有满足扩展条件：在成对选择时，你选择了C（尽管不是唯一的），但你却没有从完整菜单中选择C。
同样，我们可以用开胃菜的例子来说明满足扩展条件，但不满足缩约条件的情况。只要我们在原来的例子中再加上一条规定：在B和C之间，你选择C；且在A和C之间，你选择A。你的选择变成：
现在，你在成对选择时没有选出任何一项，因此可以默认扩展条件满足。（回忆一下，扩展条件要求，如果你在成对选择时选出某个选项，那么你也要从完整菜单中选择该选项：如果在成对选择时没有选出任何选项，那么这一条件自动满足。）但是，本例的关键在于没有满足缩约条件：你从完整菜单中选择了A，但是在A和B之间却没有选择A。
开胃菜、汤和鱼的例子显示，缩约条件和扩展条件是一致且相互独立的。这些条件至少排除了我到目前为止所指出的种种问题，因此我要说，一个合理的选择过程就是能满足这些条件的过程。（注意，我在这里用了“合理的”这个词，而不是“理性的”。随后你就会明白为什么我要区分这两个词。）
为了概括合理选择的特点，我们需要用到偏好关系的概念。对于菜单上的任何两个选项，偏好关系能够说明，究竟是第一个至少和第二个一样好，还是第二个至少和第一个一样好。它允许两者同时成立：在此情形下，这两个选项被称为“无差异”。如果第一个选项至少和第二个一样好，并且两者并非无差异，那么第一个选项就要比第二个好。这种“至少一样好”关系适用于菜单选项。在人与人之间作比较的时候，也有类似的“至少一样高”关系：我至少和你一样高；或者你至少和我一样高；或者两者都成立，即我们俩身高相同。
如果根据某种“至少一样好”关系，你从菜单中选择的选项恰好就是那些至少和菜单上剩余选项一样好的选项，你的选择就可以由偏好关系来解释。这意味着两点：（1）如果某个选项至少和其他选项一样好，你选择该选项；（2）如果有其他选项好于该选项，你就不会选择该选项。如果你的选择可以由某种偏好关系来解释，这种关系就很容易说明：它规定当且仅当你从一对选项中选择某个选项时（尽管不一定是唯一的），它和另一个选项至少一样好。注意，这意味着如果你从一对选项中只选择一个，那么它比另一个好。
回到鱼的例子，你的选择如下：
对三组成对选择进行比较显然可以发现，如果你的偏好关系是：
并且你总是选择最好的可选项，那么你就会照本例那样选择。也就是说，你的选择可以由偏好关系来解释。
看起来似乎所有选择（无论多么奇怪）都可以由某种偏好关系来解释。但事实并非如此。回到开胃菜的例子，你的选择是：
如果这些选择可以由偏好关系来解释，那么A至少得和B一样好，因为你从完整菜单中选择了A；而B得比A好，因为你从A和B之中选择了B。这两个结论不可能同时为真，因此没有任何偏好关系可以解释你的选择。
同样的结论也适用于汤的例子，在其中你的选择是：
这里，A或B其中之一必然要比C好，因为你没有从完整菜单中选择C。但是A不可能比C好，因为你在A和C之间选了C，尽管不是唯一的。同样，B也不可能比C好，因为在B和C之间，你选了C。因此，在本例中同样没有任何偏好关系能够解释你的选择。
开胃菜和汤的例子说明：（1）如果缩约条件和扩展条件有其中之一（或者两个都）不能满足，也就是说，如果选择不是合理的，选择就无法由偏好关系来解释；（2）如果两个条件同时成立，也就是说，如果选择是合理的，选择就可以由偏好关系来解释。情况就是如此：当且仅当选择可以由偏好关系来解释时，它是合理的。
这意味着，如果选择是合理的，选择和偏好关系实质上是一样的：我们总是可以从偏好关系中推断出选择；也可以从选择中推断出偏好关系。
理性选择
合理性是个很好的起点，但是正如我在介绍鱼的例子时说的，光有合理性还不够。在鱼的例子中，你的选择如下：
这里的问题是，在一种情形下你在有A时选择了B，而在另一种情形下你在有B时选择了A，并且没有同时选择B。我们可以这样来描述：第一种情形下，B显示出至少和A一样好，而在第二种情形下，A显示出比B好。为了避免类似问题，我们要求如果有第二个选项时你选择了第一个选项，那么任何时候当你选择了第二个选项而第一个选项同时存在时，你也应该选择第一个。这一要求被称为显性条件；又被称为“萨缪尔森的显示偏好条件”，得名于另一位诺贝尔经济学奖得主保罗·萨缪尔森（生于1915年）。类似的赛马例子如下：如果一匹小母马在有第二匹小母马参加的比赛中获胜，无论是独占鳌头或是并列第一，那么第二匹小母马在有第一匹小母马参加的任何比赛里都不可能单独获胜。
显而易见，显性条件同时涵盖了缩约条件和扩展条件。但是比如在鱼的例子中，正如我们所看到的，显性条件不成立，而缩约条件和扩展条件却成立。因此，显性条件强于缩约和扩展条件的总和。也就是说，任何满足显性条件的选择必然满足缩约条件和扩展条件，但满足这两个条件的选择却不一定满足显性条件。
显性条件有些苛刻：鱼的例子中的选择不满足显性条件。但也不是非常苛刻，正如下例所显示的，显性条件可以得到满足。
肉的例子
菜单由鳄鱼肉、牛肉、鸡肉和鸭肉组成。如果有鳄鱼肉，你就选它；如果没有鳄鱼肉但有牛肉，你就选牛肉；如果两者都没有，你就同时选鸡肉和鸭肉。如下图所示：
显而易见，在本例中你的选择满足显性条件。这意味着它们同时也满足缩约条件和扩展条件，因此是合理的。相应地，它们可以由偏好关系来表示：
由于显性条件至少排除了我前面所提到的那些影响合理决定的问题，我要说，理性选择的过程就是能满足显性条件的过程。
要概括理性选择的特点，我们要用到偏好序列的概念。偏好序列是一种特殊的偏好关系，又被称为传递性。对于某种“至少一样好”的关系，如果在X至少和Y一样好，且Y至少和Z一样好的情况下，可以得出X至少和Z一样好的结论，那么这种关系就具有传递性。例如，人与人之间“至少一样高”的关系就具有传递性：如果我至少和你一样高，而你至少和蒙莫朗西一样高，那么我至少和蒙莫朗西一样高。在肉的例子中所隐含的偏好关系具有传递性，因此是一种偏好序列。尽管传递性看似是偏好关系的自然属性，但实际上并非所有的偏好关系都具有传递性。例如在鱼的例子中，偏好关系如下：
上述关系不具有传递性：假设它具有传递性，那么前两个陈述意味着C至少和A一样好，这个结论与最后一条陈述相矛盾。
之所以用偏好序列这个名称是因为它允许对选项进行排序（尽管其中可能出现并列）。这意味着我们可以将所有选项排列成表，最好的选项在顶部，最差的在底部。回到肉的例子中所隐含的偏好序列。依惯例用字母来代替选项，列表如下：
如果没有传递性，我们不可能将选项排成列表形式。比如在鱼的例子中所隐含的偏好关系，如果我们把A放到列表顶部，那么我们必须把B也放到顶部，因为A和B无差异；但我们不能把B放到顶部，因为C好于B；且我们也不能把C放到顶部，因为A好于C。因此我们无法将任何一个选项置顶，从而无法排成列表。
如果你的选择可以由具备传递性的偏好关系来解释，那么它就可以由偏好序列来解释。（回想一下，偏好序列其实就是具有传递性的偏好关系。）如我们所见，在鱼的例子中隐含在选择背后的偏好关系（它不满足显性条件）不具备传递性，从而这些选择无法由偏好序列来解释。另一方面，在肉的例子中所作的选择（满足显性条件）则可以由偏好序列来解释。
肉和鱼的例子说明：（1）如果显性条件不满足（即选择是非理性的），选择就无法由偏好序列来解释；（2）如果显性条件满足（即选择是理性的），选择就可以由偏好序列来解释。情况就是如此：当且仅当选择可以由偏好序列来解释时，它是理性的。
图4《思想者》：选择是深思熟虑的欲望（奥古斯特·罗丹，1904）
这意味着，如果选择是理性的，选择和偏好序列实质上是一样的。确实，我们可以把选择之中所隐含的偏好序列看做作出该选择的理由：在理由和理性之间存在紧密联系：“选择是深思熟虑的欲望。”
效用
正如理性选择可以由偏好序列表示，偏好序列也同样可以由效用来表示。要用效用来表示像“至少一样好”这样的序列，就是要为每个选项指派相应的数字，更好的选项分配到更大的数字。更确切地说，当且仅当第一个选项比第二个更好时，它具有更高的效用。对于肉的例子中所隐含的偏好序列，即
我们可以指派效用如下：
这样的指派很有帮助。它说明我们总是可以通过列表来为某个偏好序列指派效用，把数字1分配给最底部的单个或多个选项，数字2给倒数第二个选项，依此类推直到列表顶部。确实，情况显然就是如此：我们总是可以通过效用来表示偏好序列。这一论述也清楚地表明：我们无法用效用来表示一个无法由偏