牛津通识读本：选择理论 [10]
鸟的例子
你和我各自必须选择一种鸟：你可以选反嘴鹬、乌鸫或乌鸦，我可以选反嘴鹬或乌鸫。收益矩阵如下：
在本例中，你的行为B相对于你的行为A和C都是占弱优势（但不占优势）。
我们在反复删去弱劣势行为时，就不像反复删除劣势行为时那么有自信。我们对理性的概述告诉我们，反复弱非劣势行为和理性行为不一样。而且，删除的顺序也会影响结果。如果在上例中，你删除A，那么我将删除A：你将单选B或C，并得到效用2。但是，如果你删除C而不是A，那么我将删除B：你将单选B或C，并得到效用1。尽管如此，如果我们已经删除所有劣势行为，那么避免弱劣势行为的做法就有一定道理。
稳定行为
在此出现一个问题：以理性方式行事和以稳定方式行事，这两者之间究竟有没有联系？如果我们各自以理性方式行事，我们的行为是否稳定？如果我们的行为稳定，它们必须是理性的吗？
要继续研究，我们需要考虑我们的行为究竟怎样才算是稳定的。如果你的行为是你对我的行为的最佳反应，同时我的行为也是我对你的行为的最佳反应，我们的行为就是稳定的。（对一个行为的最佳反应就是在给定该行为的情况下，对简化概率的反应。）如果是这样，那么当我们二人都没有单方面动机去作出改变时，我们的一对行为就是稳定的。一对稳定行为也被称为“纳什均衡”，得名于约翰·纳什（生于1928年），他是诺贝尔经济学奖获得者、经济学家和数学家（同时也是电影《美丽心灵》的主人公）。注意，尽管我们可以问你的单个行为在孤立情况下是否具有理性，我们却不能问你的单个行为是否稳定：稳定性是只属于成对行为（你的一个行为和我的一个行为）的属性。
要说明稳定行为，让我们回到拍卖的例子。收益矩阵如下：
在本例中我们各自选择A是稳定的，因为如果你知道我将选A，那么你就会选A；并且如果我知道你选A，我就会选A。
如拍卖的例子所示，且几乎可以由定义直接得出，稳定行为是理性的。但是，反之则不成立：并非所有成对的理性行为都是稳定的。下例将说明这一点。
动物的例子
你和我各自选择一种动物：我们可以各自选择驴子、野猪或者母牛。收益矩阵如下：
显而易见，在本例中唯一的稳定行为是你选择B，我选择B，但是每个可能的行为对你来说（同时对我来说）都是理性的。
理性、优势和稳定性之间的联系如图13所示。
图13战略选择示意图：双箭头代表对等，单箭头代表隐含
在讨论稳定性时，我的主要目的是查明以理性行事和以稳定方式行事之间的联系，而不是具体研究稳定性。但是，我要简单提一下和稳定性概念相关的两个问题。
第一个问题是可能存在许多互不兼容的稳定行为。见面的例子可以说明这一点。收益矩阵如下：
在本例中，你选择A且我选择A是稳定的，因为我们中没有人会选择B，如果他知道另外一人将选择A。同样，你选B且我选B是稳定的。因此，我们有多对稳定行为。如果你选择某一对行为中你的部分，而我选择另一对中我的部分，如果我们这样的选择也是稳定的，那么存在多对稳定行为这一现象就无关紧要。但事实并非如此：你选A且我选B，这一对行为并不稳定。
见面例子的另一种阐释强调了这一点。A可以重新解释为靠左行驶，B可以解释为靠右行驶；收益矩阵保持不变。如果我们每个人都靠左行驶，这是稳定的；每个人都靠右行驶，也是稳定的；但如果我靠左而你靠右行驶，我们可能都活不久。
注意：在本例中每个稳定配对都不涉及弱劣势行为：如果存在弱劣势行为，或许合理的做法是避免选择它们。还要注意：在理性行为中不可能出现不兼容的问题：你可能有多于一个理性行为，我也一样，但是多对行为在整个过程中不会产生影响。
稳定性概念的第二个问题在于，可能不存在稳定行为。下面的例子可以说明这一点（这个例子最早被称为“便士配对”。）
配对例子
你和我各自选择一张牌，然后给对方看，牌上画着天使或野兽。如果我们牌上的画是一样的，我付你100美元，如果不一样，你付我100美元。因为我们都喜欢钱，我们可以把收益矩阵写成：
显然，我们都选择同样的行为不可能是稳定的，因为如果我知道你的行为，我将改变我的；同样的，我们各自选择不同的行为也不可能是稳定的，因为如果你知道我的行为，你将改变你的。因此，不存在稳定行为。这一问题不可能在理性行为中出现：如我们所见，你总是有着某种理性行为。
但是在一定程度上，可以通过允许选择个人行为和赌局（正如我们在讨论优势的时候所做的）来得到稳定行为。在这种情况下，一对稳定的行为（有时在混合策略里被称为“纳什均衡”）具备像以前那样的属性：如果你的行为是你针对我的行为的最佳反应，且我的行为是我针对你的行为的最佳反应，那么我们的行为就是稳定的。如果我们允许选择赌局，那么在配对的例子中就会出现一对稳定行为。显而易见，你和我各自选择赌局“以概率0.5选A，其余选B”是稳定的，实际上也是唯一的一对稳定行为。事实上，如果我们允许选择赌局，那么所有的策略问题都有稳定行为。
不仅是原先没有稳定行为的地方出现了稳定行为，而且现在新的稳定行为可以在原有的基础上继续出现。回想一下，在见面的例子里，可以把A重新解释为靠左行驶，把B重新解释为靠右行驶，存在两对稳定行为：我们都靠左行驶和我们都靠右行驶。但如果我们允许选择赌局，那么还有第三对稳定行为：即我们各自独立掷硬币，如果正面向上就靠左驾驶，如果反面向上就靠右驾驶：这是避免车祸的另一个解决办法。
如果在此新的意义上重新阐释稳定性，情况依然是：稳定行为是理性的。同样，这几乎可以直接从定义中推导得出。而且，并非所有成对理性行为都是稳定的。要明白这一点，回到动物的例子。收益矩阵如下：
显而易见，你和我都选择B是唯一的稳定配对，即使在我们都可以选择赌局的情况下。但是，如我们所见，每个可能的行为都是理性的。
因此，稳定性的概念可能是有歧义的，比如可能存在多个稳定配对；或者是空洞的，比如可能不存在稳定配对，且我们不允许选择赌局；或者有些晦涩，比如唯一的稳定行为需要使用赌局。
一些扩展
如果把时间纳入考虑，情况就会有所改变。再次回到拍卖的例子。收益矩阵如下：
假设现在我们必须各自连续两天而不是一次性作出选择。在第二天我们各自都知道对方在第一天所作的选择。现在你是从下列八个行为中进行选择：
如果我今天选A，你今天选A 且明天选A
如果我今天选B，你今天选A 且明天选A
如果我今天选A，你今天选A 且明天选B
依此类推。（我的行为是类似的。）显而易见，你仅有的两个（对等的）理性行为是“如果我今天选A，那么你今天选A且明天选A”和“如果我今天选B，那么你今天选A且明天选A”。也就是说，不管我选什么，你都是今天选A且明天选A。因此，没有重大变化。
现在假设我们各自连续一百天作出选择。你可能会觉得，在前面某一天值得选B，寄希望于这样可以培养我们之间的信任，从而我将开始选B，这对我们两人都有利。但是，你这么做完全是错误的。在最后一天，不存在培养信任的问题，所以我们各自将像我们只选一次那样作出选择，也就是说，我们各自选A。那么在第99天，也不存在培养信任的问题，因为我们各自都知道对方在最后一天的选择：再次，我们各自选A。重复这样的推论，每天我们将各自选A。同样没有任何改变。如果我们在任意有限的天数内作出选择，同样的逻辑都适用。
但是，如果我们在无限多的天数内作出选择，这样的逻辑就不成立，因为现在不存在开始推理过程的最后一天。事实上，如果我们无限地选择，我们每天各自选B，不仅对个人是理性的，而且对双方也是稳定的（尽管可能有其他稳定结果）。情况与有限重复时（因此也是与时间无关时）有了巨大改变。在有限重复时，我们每天各自选A是唯一的理性结果。
从这个结果中得出一般推论，我们可以说，虽然在有限重复的场景中，个人的理性行为不一定是集体理性的，但在无限重复的场景中，这种情况可能（尽管并非必要）成立。因此，无限重复可能将竞争转化为合作。这一结果是民俗的重要部分，因此它被称为“民间定理”。大卫·休谟（我们在第一章中已经提到过他）注意到：
我学着为另一个人服务，并非因为我对他好，而是因为我预见到，他将会回报我，以期得到另一次同类服务，并且保持与我及他人之间的良好沟通。相应地，在我为他服务之后，他从我的行为中得利，他在预见到拒绝的后果之后，也将尽他的义务。
个体理性与集体理性之间的张力产生了许多混淆。其中一些体现在双胞胎的明显悖论中。有人声称，因为拍卖例子是对称的，你和我可以被看做是双胞胎以同样方式进行选择。因为你知道这一点，所以你报低价：你知道我总是会做和你一样的事，并且我们都报低价好于我们都报高价。为对称性理论辩护的尝试常常是基于所谓的海萨尼信条，得名于诺贝尔经济学奖得主、哲学家约翰·海萨尼（生于1920年）。这一信条声称具有相同信息和经验的两个人将必然以同样方式行事。如果把经验界定为包括一切使人与众不同的特点，那么这一看似正确的信条（我将在下一章继续讨论）就是同义反复的。但这一信条意义有多重要呢？你对这一信条以及上面提到的明显悖论应该有自己的观点。
在第四章里，我考虑了是否我们能借助无知面纱的设想对分配公平有所了解。我现在将借助一个类似的设想：不确定性面纱。无知面纱指假装不了解已经决定的事实，比如你是谁；而不确定性面纱指对尚未发生的事件真的缺乏了解，比如谁将会找到石油。假设你和我各自在寻找石油。我们都从零财富水平开始。如果我们都找到石油，或者都没有找到，我们各自得到同样的财富：在这两种情况下，财富分配的问题都不那么吸引人。试考虑只有一个人找到石油的情况。我们不知道谁发现石油，在这种情况下，发现的人将得到200万美元，而另一个人则一无所获。
我将假定我们各自只关心自己的所得，且都是风险厌恶的。为了作具体讨论，我将假定我