牛津通识读本：网络 [6]
自然和社会中的网络可能在局部地区显得极为分散。细胞中的一些化学物质组仅仅在彼此之间相互作用，而不与其他任何物质发生作用。在生态系统中，某些物种群体会建立小型食物网，而与外部物种没有任何联系。而在社会系统中，某些人类群体可能也与其他人完全隔绝。然而，这种分离的群体，或者称分量，仅为极少数。在所有网络中，系统内几乎所有组成部分都会参与到一个大型的连接结构之中，这个结构被称为巨型连通分量。
例如，科学家在基于词汇联想的一个实验中，发现96%的语词止步于某个语词大群体内部。人们可以在这个词群中找到任意两个词语的关联路径，甚至像“火山”与“胃”这样差别巨大的语词之间也有关联：该实验的参与者所绘制的联想链为，“火山”——“夏威夷”——“放松”——“舒适”——“疼痛”——“胃”。一般来说，巨型连通分量在几乎所有网络中都会占到90%-95%的系统比例。我们可以列举这一事实的一些有趣后果。在性关系网络中，过去和当下的性行为能将我们与那些从未想象过或渴望有关系的人联系起来。大型的合作结构会出现在科学家的合作网络中，略去的只是少量孤僻的参与者。在公司的董事会中，连锁董事给予了绝大多数公司某种关联性。最后，在食物网中，某个给定地点的某物种所引入的污染物，会通过食物链而被带到远至地球另一端明显不相关的物种身上。
生活在一个大的相互连接的世界中并不意味着其中的任意两个节点都能够互相抵达。正如对普通道路而言，是否为单行道非常关键，我们也必须知道边是否有向。在有向网络中，从一个节点到另外一个节点存在路径并不保证这条路反向也能行得通。狼吃羊，羊吃草，但草并不吃羊，羊也不吃狼。这种限制在巨型连通分量中创建了某种复杂的架构（图6）。例如，根据1999年的估计，若忽略边的方向，万维网有超过90%的部分由相互连接的页面组成。然而，如果我们将边的方向纳入考虑范围，万维网中彼此能够相互抵达的节点比例仅为24%，这部分构成了所谓的巨型强连通分量。其余部分则以内向分量和外向分量进行划分：前者由那些路径指向巨型强连通分量的页面组成，后者则由那些接收来自巨型强连通分量的连接的节点组成（图形由被称为管道和卷须的小型结构补充完成）。这种特征结构赋予了万维网这个巨型连通分量结构某种“蝴蝶结”的外形特征。这种复杂的结构并非局限于万维网，而是在所有有向网络中都会带着不同的分量出现。
图6 像万维网这样的有向网络会显示出“蝴蝶结”结构：它由中间的巨型强连通分量、内向分量、外向分量以及各种小结构（管道、卷须以及少量分离分量）组成。图中为1999年的数据
巨型连通分量的存在——无论是否具备“蝴蝶结”结构——是一个非常显著的特征。例如，尽管万维网的巨型强连通分量的规模比系统本身的1/3还要小，但它在1999年时仍包含了5 600万个网页。如果网络非常紧密，也就是说，如果它们拥有许多冗余连接，多到能够使几乎各节点都互相连接，那么便很容易解释这一特征。但通常情况并非如此。大多数网络反而是稀疏的，即它们的连接数往往很少。以机场网络为例：每个频繁旅行者的经验都表明，直航并不常有，抵达一些目的地需要经过中转站；活跃的机场数上千，但平均起来，每个城市仅与不到20个其他城市相互连通。大多数网络中的情况也是如此。这一情况可以由节点的平均连接数，即它们的平均度数体现出来。我们每天都创建许多网页，但每个网页的平均连接数大约为10。无数的路由器接入了互联网，但每个路由器平均只与不到3个其他路由器相连。最后，在超过5万名物理学家的样本中，人们发现合作者的平均数量仅大约为9。在大多数真实世界网络中，可能存在具有多连接的元素（事实上也确实存在），但一般说来，与此相对应的图并不紧密；相反，它们被认为是稀疏的。
这个令人困惑的矛盾——一个稀疏的网络仍旧可以很好地连接起来——已经吸引了我们在第二章提到的匈牙利数学家保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼的注意。他们通过生成这些图的不同随机图解开了这个困惑。在每个随机图中，他们都改变了边的密度。他们以非常低的密度为起点：平均每个节点少于一条边。人们自然会期待，随着边的密度的增加，越来越多的节点将会彼此连接。但埃尔德什和雷尼所发现的却是一个相当突然的转变：一些分离分量突然合并为一个大的分量，后者几乎包含了所有节点。突变发生在边达到一个特定的临界密度值时：当每个节点连线的平均数（即平均度数）大于一时，巨型连通分量便会突然出现。这个结果意味着网络展现出某种十分特别的节约特征（这种特征是其无序结构所固有的）：甚至在节点之间随机分布的少量的边，都足以产生能够吸收几乎所有元素的大型结构。
近在咫尺
1994年初，奥尔布赖特学院的三名学生——克雷格·法斯、布莱恩·特特尔、迈克·吉内利——在一场暴风雪天气里看电视。据他们说，他们注意到电视上预告了凯文·贝肯的下一部电影，但他也同时出现在了许多不同的电影中。于是他们开始历数在那些电影中与他合作的大量演员。贝肯有点类似于“娱乐世界的中心”的想法便开始传播，进而变得尽人皆知了，基于此甚至出现了一个网页，即“凯文·贝肯指南”：这个搜索引擎提供了贝肯和人们可能会搜索的任何其他演员之间的关系。值得注意的是，如果人们输入来自早先商业电影中某位西班牙演员的名字，比如帕科·马丁内斯·索里亚，该指南网页就会发现一个十分紧密的联系：马丁内斯与路易斯·因杜尼一起演过《在西班牙度假》（Veraneo en España）这部电影；后者和伊莱·瓦拉赫一起出演过电影《先开枪，再提问》（Il Bianco, il Giallo e il Nero）；而瓦拉赫又与凯文·贝肯一起出演过《神秘河》（Mystic River）。这种与贝肯相关的合作链几乎能在人们所能想到的任何演员身上发现。
这个令人惊讶的特征让人想起一场科学家参与的游戏。随机图专家保罗·埃尔德什乃是20世纪杰出的数学家。科学家们衡量了自己与埃尔德什的合作以作为自己荣誉的象征：那些与他共同撰写过一篇论文的人的埃尔德什数记为1；那些埃尔德什合著者的合著者的埃尔德什数记为2；而埃尔德什合著者的合著者的合著者的埃尔德什数记为3；以此类推。然而，只有最小的埃尔德什数字才是骄傲的真正来源：超过500位科学家乃埃尔德什的直接合著者；而与这些核心的合著者合作过的科学家有几千人。最后，数以万计的人拥有埃尔德什数3（G.C.[4]就是其中之；M.C.则拥有埃尔德什数4），所以这并非什么特别的荣誉。在一任何领域几乎都没有科学家拥有超过13的埃尔德什数。
完全出乎人们的意料，这些引人注目的结果并非贝肯或埃尔德什特有。前者并非娱乐界的中心人物；后者也并非数学的枢纽。如果在任何其他演员或科学家身上重复同样的计算，也会发现类似的结果：非常短的链条关联着相隔甚远的个体。这一事实为一次十分普通的鸡尾酒会经历提供了某种有趣的洞见：
当你与一位陌生人聊天的时候，突然发现他或她是你妻子的同学，或者你兄弟的网球搭档，抑或你朋友的邻居，等等。这种发现通常让人们惊呼（“世界真小！”），但可能它并非那般不寻常。
社会系统似乎非常紧密地联系在一起：在一个足够大的陌生人群中，找到一对由十分短的关系链关联起来的人并非不可能。
六度分隔理论
1967年，美国心理学家斯坦利·米尔格拉姆进行了一系列值得铭记的实验。在杰弗里·特拉弗斯的协作下，米尔格拉姆向中西部（堪萨斯州和内布拉斯加州）的一些居民随机寄送了数十封信件。在信中，他请求这些人将信件转发至马萨诸塞州的某人（剑桥[5]的神学学生的妻子，或者波士顿的一位股票经纪人），而米尔格拉姆并未提供相关地址。如果这些居民并不认识收件人，米尔格拉姆则建议他们将信件转发至他们所认识的可能由于某种原因而与收件人“相熟”的人。人们在每次转发信件之时，都必须抄送一份给米尔格拉姆，以便他能够追踪信息的传递路径。在拥有数亿人口的国家内，依靠本质上为口口相传的方式找到某人似乎是不可能的。然而，几天后，收件人开始收到原始信件。这些信件仅仅经过了一位中间人。几周之后实验宣告完成，大约1/3的信件已经抵达其目的地：没有一封信件被转发超过10次，而平均邮寄次数为6次。
该实验激发了科学界的热情。1950年代，数学家曼弗雷德·科亨和政治学家伊锡尔·德·索拉·普尔便猜测人类之间的联系可能比预想的更加紧密。他们问道：如果从人群中随机抽取两人，他们认识彼此的概率有多大？通俗地讲，需要多长的相识链条才能将他们相互关联起来？在一篇最终于1978年发表的广为流传的论文中，他们提出了一个数学模型，表明在诸如美国这样的人口规模中，让人意想不到的是有很大一部分人两两之间都可以通过少量的中间人链条而彼此连接。米尔格拉姆的实验则是对此二人直觉的检验。这个发现有很强的甚至超出学术界的影响。六度分隔理论这个术语中的数字来源于米尔格拉姆的实验发现，并成为其结果的一个通俗的表达。1990年，剧作家约翰·瓜雷将其作为某喜剧的标题，该剧中一个魅力人物躲避人群，并声称自己是演员西德尼·波蒂埃的儿子。以下便是瓜雷表达米尔格拉姆实验结果的方式：
我曾在某处读到过，这个星球上的每个人和其他人之间都仅隔着六个人。这就是六度分隔理论。在我们和这颗星球上的其他每个人之间。美国总统。威尼斯的贡多拉船夫。还可以继续写下名字。［……］不仅仅是名人。而是任何人。雨林中的当地人。火地岛人。爱斯基摩人。我通过六个人与这颗星球上的每个人紧密地联系在一起。
小世界
“爱虫”（Iloveyou）病毒是史上最具传染性的计算机病毒之一。自2000年5月出现之后，它便感染了世界各地数千万的计算机，造成主要用于清除它的损失达数十亿欧元。“爱虫”病毒以电子邮件的形式传播，它伪装在一个酷似