牛津通识读本：数学（中文版） [17]
有很多奇闻轶事在讲，各种艺术形式中，数学家为音乐所吸引的最多。也有一些研究声称已经表明，受过音乐教育的儿童在科学领域中表现得更优秀。我们不难猜出为什么会这样。尽管在所有艺术形式中抽象都很重要，但音乐在其中最具有代表性，可以说是最明显的抽象艺术：听音乐所获得的愉悦感，大部分来自于对不具有内在含义的纯粹形式的直接——即使不是完全自觉的——欣赏。
不幸的是，这些传说中的证据很少得到严格的科学支持。关于这种说法，就连应该提出哪些疑问都不好说。如果我们收集到统计数据显著地说明，在相近的社会背景及教育背景下，数学家与其他人相比，弹钢琴的百分比更高，那我们能够从中了解到什么呢？我自己猜测，的确会得到这样的数据。但如果提出一种可经实验验证的理论来说明这其中的关联，会有趣得多。就统计证据而言，如果能够更加详尽明确，也会更有价值。数学和音乐都是内容很广泛的领域，某些人很有可能只对领域中的某一部分有热情，而对其他部分毫无兴趣。数学和音乐趣味之间是否会有微妙的联系？如果有，那将会比这两个领域间整体的粗略相关性更具信息含量。
4. 为什么有那么多人旗帜鲜明地厌恶数学？
我们不常听到别人说他们从来不喜欢生物学，或者英国文学。毫无疑问，并不是所有人都会对这些学科感到兴奋，但是，那些没有热情的人往往完全理解那些有热情的人。相反，数学，以及其他内容高度数学化的学科，诸如物理，似乎不仅仅使人提不起兴趣，而且能激起反感。究竟是什么原因使他们一旦能够抛弃数学时就立刻抛弃，并且一生都对数学心有余悸？
很可能并不是因为数学很无聊，而是数学课的经历很乏味。这一点更容易理解。因为数学总是持续在自身的基础上构建，所以学习时的步步跟进就显得很重要。比方说，如果你不太擅长两位数的乘法，那你很可能就不会对分配律（第二章中讨论过）有良好的直觉。没有这种直觉，你可能就会在计算打开括号（x+2）（x+3）时感到不适应，于是你接下来就不能很好地理解二次方程，因而也无法理解为什么黄金分割比是
类似这样的环环相扣还有很多，但是，学习数学时的步步跟进不仅仅是保持技术熟练度而已。数学中常常会引入重要的新思想，新思想会比旧思想更加复杂，每一个新思想的引入都有可能把我们甩在后面。一个很明显的例子就是用字母表示数，很多人对此糊里糊涂，但对某个层次以上的数学来讲这是基础性的。还有其他类似的例子，比如负数、三角函数、指数、对数以及初步的微积分。没有作好准备来进行必要的概念飞跃的人，一旦遇到这些新思想时，就会对其后建立在新思想基础上的一切数学感到并不牢靠。久而久之，他们就会习惯于对数学老师所说的东西仅仅一知半解，日后再错过几次飞跃，恐怕连一知半解也做不到了。同时他们又看到班上其他同学能够轻而易举地跟上课程。因此就不难理解，为什么对许多人来讲数学课成为了一种煎熬。
情况一定是这样的吗？有没有人天生注定就会在学校里厌恶数学，还是说，有可能找出一种不同的数学教学方法，使得排斥数学的人能够大大减少？我相信，小孩子如果在早期接受到热情的好老师一对一教学，长大之后就会喜欢上数学。当然，这并不能直接成为一种可行的教育政策，不过至少告诉我们，数学的教育方法可能有改进空间。
从我在本书中所强调的思想出发，我可以给出一条建议。在上面，我间接地将技术的熟练度与对较难概念的理解作了一番比较，但实际情况似乎是，凡是擅长其中一个方面的必然两个方面都擅长。况且，如果说理解数学对象，大体上就是要学习数学对象所遵从的规则，而非把握其本质，那么我们完全可以预期：技术的熟练度与数学理解力之间并不像我们想象得那样泾渭分明。
这又会对课堂实践产生什么影响呢？我并不赞成革命性的改进——数学教育已经深受其累，我所赞同的是小幅度的改变，有所侧重的小幅变化将会是有益的。比方说，一个小学生犯了个常见错误，觉得xa+b=xa+xb。强调表达式xa内在含义的老师会指出，xa+b的含义是a+b个x相乘，显然与a个x相乘再乘以b个x相乘的结果相等。不幸的是，很多孩子觉得这样的论证过于复杂、难以领会，何况一旦a和b不是正整数，这样的说法就无效了。
如果使用更抽象的办法，那么这些孩子可能会从中获益。正如我在第二章中所指出的，关于指数我们需要了解的一切，都能从几条很简单的规则中推导出来，其中最重要的一条就是xa+b= xaxb。如果这条规则得到了强调，那么上面的这种错误可能出现的机会就减少了，一旦出现了也很容易纠正：我们只需要提醒犯错的人没有使用正确的规则就行了。当然，熟悉x3等于x乘以x乘以x这样的基本事实也很重要，但这样的事实可以当作规则的推论出现，而不是当作规则的论据。
我并不是想说，我们应该向孩子们解释什么是抽象方法，我只是想指，教师们应当对抽象方法的隐含意义有所认识。这些隐含意义中最主要的一个就是，即使并不能确切地了解数学概念的含义，我们也很有可能学会正确地使用它们。这听起来似乎是个坏主意，但是用法总是容易教，而对意义的深层理解——倘若在用途之上的确有某种意义的话——常常会自然而然地随之而来。
5. 数学家在工作中使用计算机吗？
简单地说，大多数数学家并不用，或者说，即使用也不会在数学工作中占据基础性的地位。当然，正如所有其他人一样，我们也认为，在文字处理和交流沟通方面计算机是不可或缺的，互联网也在日益发挥着重要的作用。在某些数学领域中，人们必须常规性地做冗长烦琐的基本计算，有一些很不错的符号计算程序能够完成这些工作。
所以，计算机能够成为非常有用的节省时间的机器，某些时候，它们甚至能使数学家发现单靠自己无法发现的结果。不过，计算机能够提供的帮助还是很有限的。如果你所研究的问题——更多情况下是子问题——正好是那一小部分能够通过长时间重复性工作完成的，那当然不成问题。可如果你的研究受阻，需要一个聪明的想法，那么就当前的技术状况而言，计算机什么忙也帮不上。实际上，大多数数学家都会说，他们最重要的工具还是纸和笔。
我的观点属于少数派，我认为这种情况只是暂时的，在未来的一百年左右的时间里，计算机将渐渐能够为数学家做越来越多的工作——没准会从帮我们做一些简单的练习开始，或者防止我们在证明错误的引理上浪费一个星期，以免到时才发现一种著名的构造就给出了反例（我说的正是自己常常经历的），直到最终完全取代我们。大多数的数学家则远比我悲观（或者说这才应该属于乐观？），认为计算机很难擅长做数学。
6. 数学研究何以可能进行？
反过来，我们也可以问，数学研究可能进行，这里面哪一点显得很奇怪呢？我在本书中提到过几个未解决的问题，而数学研究在很大程度上就是在努力解决这些问题以及类似问题。如果读过了第七章，那你会看到，有一种生成问题的好办法是去找一种很难精确分析的数学现象，然后努力对它作一些近似的陈述。第六章结尾处还提出了另一种办法：选一种较难的数学概念，诸如四维流形，然后你通常就会发现，关于这些概念，即便很简单的问题也非常难解答。
如果说数学研究中有什么比较神秘的话，那并不是困难问题的存在——实际上，要创造出奇难无比的问题很容易——而是居然有足够的问题恰好有相当的难度，从而钓住数以千计的数学家。要实现这一点，这些问题必然得有挑战性，但同时也必须让人们看到有可能解决的一线希望。
7. 有没有著名数学问题被业余爱好者解决过？
坦率地讲，没有——这就是对这个问题最简单的回答，也是最不具有误导性的回答。专业数学家能够很快地意识到，他们就著名问题所产生的几乎任何思想，都已经有许多前辈想到过了。一种思想要想成为全新的，就必须具备某种特征能够说明为何前人从来没有考虑过它。可能仅仅是这种想法极具原创性，出人意料，但这种情况十分罕见：总体而言，某种思想的诞生会有充足的理由，而不会是凭空冒出来的。如果你有了这种想法，那凭什么别人就不曾有过呢？一种更加合理的理由是，这个想法和别的某种思想相关，那种思想的知名度并不高，而你已经不畏艰难地去学习并且吸收那种思想。这样至少降低了别人在你之前已经有过同样想法的概率，虽然还是没有降到零。
世界各地的数学系所经常收到一些信件，寄信人声称他们解决了某某著名问题，但实际上无一例外，这些“解答”不仅是错误的，而且错得还很滑稽。有一些解答虽然严格地说并不是犯了错误，看起来却根本就不像是在正确地证明任何东西，简直都不能算是去尝试解答。有些解答至少遵循了数学陈述的常规方式，但其中使用的都是非常初等的论据，如果这些论据是正确的，早在许多世纪以前就会被人发现了。写这些信的人对数学研究的艰难程度没有一点概念，不了解要想做出重大的原创性工作，必须要花上数年的时间来充分发展知识和专长，也不知道数学是一项多么需要集体合作的活动。
上面最后一句话并不是指数学家会在很大的团体中工作——尽管很多研究论文的确都署有两到三个作者的名字。我所指的是，随着数学的发展，人们创造出解答某些问题不可或缺的新技术。其结果就是，每一代数学家都站在前一代数学家的肩膀上，去解答过去一度认为难以触及的问题。如果你试图离开数学界主流去孤立地研究问题，那你就必须自行去创造这些技术，这当然会使你处于一种极其不利的境地。
当然我也不是说业余爱好者就不可能在数学中作出重要的研究。实际上的确有一两个这样的例子。1975年，一位几乎没有接受过任何数学训练的圣地亚哥家庭主妇玛乔丽·赖斯，在读过《科学美国人》杂志中谈到的问题后，发现了三种之前不为人知的用（非正）五边形镶嵌平面的办法。在1952年，一位58岁的德国校长库尔特·黑格纳证明了高斯遗留下来一个多世纪的一个著名猜想。
然而，这些例子与我之前所说的并不矛盾。有一些问题看起来与数学的主干联系并不太紧密，对于这些问题来讲，了解现有的