牛津通识读本：牛顿新传 [4]
现代科学的另一个重要方面则是由弗朗西斯·培根勾勒出来的。在伽利略和开普勒发展天文学和力学的同时，培根也在提倡这样一种思想：理解自然的正确方法是直接研究自然，而不应通过亚里士多德的著述（或其他任何文献）来进行。培根认为自然哲学上的进步只能通过协作项目来实现，并由此提到了新近发现美洲和太平洋的壮举，赞扬了艺术与贸易所取得的进步。对迥然不同的事实进行观察，会增加人们对这个可见世界的认识，而设计精良的实验能将自然世界分解为各个组成部分，从而得出有关大自然真正秘密的信息。培根甚至还赞扬了炼金术士用以分析自然的方法，不过他同时对炼金术士们的封闭生活方式和模糊的行话感到悲哀。
并非所有的反亚里士多德主义者都认同伽利略的方案就是发现科学真理的正确方法。勒内·笛卡儿提出了一种复杂的解释，用以描述这个物理世界背后的各种微结构。笛卡儿认为，我们周围的世界中存在的那些机械现象也在不可见的层面上运作着。在他的机械哲学中，一个不可见的微观世界配有许多钩子和螺丝，将各种元素凝聚在一起。根据笛卡儿的解释，一种巨大的太阳“涡旋”通过运动压出各种物质，对地球上的现象产生重大影响，从而产生了诸如磁、热、重力和电等大规模现象。笛卡儿认同伽利略的反亚里士多德学说（同时还秘密地认同伽利略和开普勒信奉的哥白尼学说），但他又指责这个意大利人的“建构缺乏基础”，声称科学解释需要采用自然界的微观机械建构模块。我们将会看到，这就是青年牛顿从事的最有影响的工作，虽然它很快就成了对手的批评对象。
数学新手
最初，牛顿接受的是剑桥大学本科生所受的标准教育。他得阅读大量规定的神学文献和亚里士多德的著作。他对严肃数学的兴趣，则很可能是巴罗于1664年春的卢卡斯数学讲座激发的。根据牛顿后来的记述，大约就在巴罗开讲的那会儿，他学习了威廉·奥特雷德的《数学之钥》和笛卡儿的《几何学》。在1664到1665年的冬天，牛顿认真研究了笛卡儿的分析数学（以及荷兰数学家弗兰斯·范·斯库藤在其编译的笛卡儿的《几何学》中所加的评注）、弗朗索瓦·韦达的代数学著作，以及约翰·沃利斯的“不可分割法”。牛顿利用我们所说的笛卡儿坐标几何学，掌握了定义各种圆锥曲线（圆、抛物线、椭圆和双曲线）的方程。尽管牛顿最初低估了欧几里得在《几何原本》中的成就，但他后来非常钦佩欧几里得和阿波罗尼奥斯的伟大成就，视他们的方法为从事数学工作的模板。
到1664年年底，牛顿找到了求曲线任意点上的“曲度”或斜率的方法。这就是所谓的切线问题。詹姆斯·格雷果里和勒内·弗朗索瓦·德·斯卢斯等数学家当时正致力于研究这一问题。笛卡儿发明了一种通过找出一个大圆在接触曲线的点上的曲率半径来确定曲线“法线”（即垂直于切线的直线）的方法。不久，牛顿便改进了这一方法。他利用近距离两点之间的法线，让这两点之间的距离变得任意小，由此便能求出“表达”任意圆锥曲线的方程中任意点的切线，还可求出相关方程的最大值和最小值。牛顿将这个过程加以推广，用来表述我们现在称为微分法的基本要素。根据微分法，切线的斜率代表着曲线在任何一点的变化率。
图3 笛卡儿的涡旋：围绕着太阳S的太阳系，以FFFFGG为界。其他星系也以恒星为中心。
早在1663到1664年的冬天，牛顿已开始研究沃利斯有关曲线截面下面积求法的分析。沃利斯的方法是将曲线下的区域分割为无穷小的截面来计算。到沃利斯1655年出版《无穷算术》的时候，人们已经知道对于基本方程式x = yn，其曲线下0到a之间的面积是an+1/n+1。这就是有名的“求面积法”或“求积法”，也就是我们现在称为“积分法”的雏形。但对于更复杂的方程式来说，则需要使用不同的技巧，例如利用无穷级数。在无穷级数中，随着一系列项达到极限，就能够接近一个终值。沃利斯发展了这一思想，他对抛物线和双曲线求积，发现了一系列接近π值的项。
在1664到1665年的冬天，牛顿认真研究了沃利斯的著作，并提出了能够取得同样结果的另一种方法。不久，牛顿对沃利斯的方法加以提炼，开始考虑利用分数幂（涉及平方根、立方根和其他根）来求曲线面积的方法。牛顿还超越了沃利斯，发现了求与圆面积相等的正方形面积的正确级数。他进而拓展了从这一成功中得到的洞察力，最终证明了广义二项式定理（既适用于整数幂也适用于分数幂），可以用来展开任何（a + x）n/m形式的方程式。在1676年致莱布尼茨的一封信中，牛顿首次公开宣布了这一发现。
1665年初，牛顿基本上弄清了切线法与求积法是互逆的运算，也就是说，那时的牛顿已经掌握了微积分的基本定理。到1665年末的时候——很可能是出于对巴罗的模仿，牛顿依然照常将曲线视为在特定条件下的点在一个虚拟空间中划出的线条，并谈到了点在特定时刻经历的“速率”。这就是牛顿所说的“流数”法——曲线上各点的值从一点“流向”下一点。至此，曲线下面积不仅可以被视为无限小部分的总和，而且可以被视为“运动学上”的面积——一个运动的点与其正下方x轴上相应的值的连线所扫过的区域。在1666年10月的一篇杰出论文中，牛顿系统地阐述了他在这方面的大部分杰出成就。那篇论文标志着他已经成了当时世界上顶尖的数学家了。
苹果落地
一个苹果掉下来，让牛顿想到将促使苹果落地的力量和促使月球保持在其轨道上的力量进行比较。这个故事可以说是科学史上最有名的一个传说了。不管其真实性如何，牛顿在数学上取得一系列发现的同时，还在力学上进行了一系列了不起的研究，这些研究使他成为将支配地上运动的力量与支配天上运动的力量统一起来的第一人。按照牛顿自己的说法，他首先发现了将旋转物体保持在其轨道内的定律，由此获得了他在力学上的新颖洞见。很快，牛顿就写下了一系列运动定律。他在二十年后撰写《原理》时，将会想起（并发展）其中的许多定律。在一本名为“废料簿”的笔记本上，牛顿在1665年初写下了一百多个运动公理，这些公理已含有了惯性的基本概念。牛顿断言撞击的效果与撞击的起因必然相等——这是后来《原理》中第三运动定律的雏形，不过他却援引一个形而上的理由来解释这一断言。牛顿精巧的分析考虑到了物体的体积和速度，最后得出了这样一个定律：撞击之前与之后的动量（mv）守恒。
接着，牛顿又非常灵巧地研究了一个物体在封闭的正方形中受各边碰撞之后的运行途径，并设想正方形各边对物体的四次撞击之和与保持一个物体围绕一个中心沿轨道运行的力量是类似的、相等的。牛顿假设施加撞击作用的边数可以无限大（这样多边形就会成为一个圆），由此推出维持一个物体沿圆圈运动一周所需的总力量“与物体的运动力量之比相当于所有的边［即圆的周长］与圆的半径之比”。如果“物体的运动力量”为mv，那么物体旋转一周所受的总力量应是2πmv。如果旋转一周所需的时间为2πr/v，那么总力量除以时间，其结果mv2/r表示的就是在特定时刻作用于旋转物体上的力量。这一力学发展上的开创性成果是克里斯琴·惠更斯在1673年发表的，但早在几年之前，牛顿就已经利用这一发现走到了惠更斯的前面。
现在，牛顿发觉自己可以解决一个最早由伽利略提出的问题，即将一个物体保留于地球上的力量（重力）与该物体所受“离心力”之间的比率。离心力就是地球的自转将物体甩向太空的趋势。就重力来说，牛顿独立算出了重力加速度g。就离心力而言，牛顿测定地球自转一周，离心力会使物体移动2π2r的距离。他将地球的大小作为其中的一个值，得出重力大概要比离心力大350倍（在一秒钟之内，重力会使一个物体下降16英尺，而离心力只会使一个物体移动半英寸多一点）。
也许因为看到苹果落地而受到了启发，牛顿在17世纪60年代末将月球离开地球的趋势与地球表面的重力进行了比较。这个问题也是伽利略提出的。牛顿用一个数字来表示地球的大小；根据这个数字，月球就有60个地球半径（从地球中心到赤道的距离）那么远。在此基础上，他推导出一个物体离开地球赤道的趋势（其离心力）是月球离开地球的趋势的12.5倍。如果月球轨道的规律要求月球的离心力能够平衡地球施加的向心引力，那么月球的离心力就应等于地球表面重力所施拉力的350×12.5（= 4325）倍。
在进行这些计算的同一份手稿中，牛顿还将自己关于旋转物体的受力定律插入开普勒的第三定律，从而得出施加于一个旋转物体的力与距离的平方成反比（1/r2）这一定律。牛顿后来回忆道，他算出的将月球维持在轨道中的力的数值（即4325）“非常接近”根据平方反比定律将月球到地球的距离的平方（602 = 3600）纳入计算之后得出的数据。那时，他将两个计算结果之间的差异归于一种地球涡旋的影响。后来，他意识到这一差异实际上是由对地球大小的不当计算造成的。他还会将这一了不起的工作视做他优先发现万有引力定律的证据。不过，不管这一成就有多么了不起，它尚缺乏他那伟大理论——万有引力定律的许多要素。
哲学问题
牛顿的这些兴趣并